Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
10.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}.
Informações dadas:
  • O termo geral é \dfrac{2^{n}}{n!} para n=1,2,3,\dots.
  • A pergunta é: a série converge ou diverge? (Se possível, dizer também se converge absolutamente e, se soubermos, o valor da soma.)

Passo 2

Escolhendo um método: quando aparecem fatoriais e potências juntas, o Teste da Razão (também chamado Teste de d’Alembert) costuma ser o mais direto — ele compara termos consecutivos e normalmente elimina fatoriais de forma simples. Vou usar esse teste. Como observação alternativa, esta série lembra a expansão da função exponencial, e isso pode nos dar o valor da soma depois de testar a convergência.

Passo 3

Enunciado do Teste da Razão (explicado bem devagarinho):
  • Seja a_n o termo geral de uma série com termos não nulos. Defina
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui cada símbolo significa: a_n é o n-ésimo termo, |\cdot| é o valor absoluto (para lidar com termos possivelmente negativos), e o limite pega o comportamento para n grande.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão aos termos a_n=\dfrac{2^{n}}{n!}. Calculo a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{2^{n}}{n!}} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^{n}} = \frac{2}{n+1}.
Cada passo: cancelei 2^{n} e n! e ficou só \dfrac{2}{n+1}.

Passo 5

Agora tomo o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1}=0,
porque o denominador cresce sem limite, logo a fração vai a zero. Como L=0<1, pelo Teste da Razão a série converge absolutamente, portanto converge.

Passo 6

Bônus (valor da soma): lembrar a expansão de Taylor/Maclaurin da exponencial:
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.
Tomando x=2 obtemos
e^{2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} =1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}.
Daí
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}=e^{2}-1.
Portanto além de convergente, a série soma exatamente e^{2}-1.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}=e^{2}-1

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