Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
10.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}.
Informações dadas:
O termo geral é \dfrac{2^{n}}{n!} para n=1,2,3,\dots.
A pergunta é: a série converge ou diverge? (Se possível, dizer também se converge absolutamente e, se soubermos, o valor da soma.)
Passo 2
Escolhendo um método: quando aparecem fatoriais e potências juntas, o Teste da Razão (também chamado Teste de d’Alembert) costuma ser o mais direto — ele compara termos consecutivos e normalmente elimina fatoriais de forma simples. Vou usar esse teste. Como observação alternativa, esta série lembra a expansão da função exponencial, e isso pode nos dar o valor da soma depois de testar a convergência.
Passo 3
Enunciado do Teste da Razão (explicado bem devagarinho):
Seja a_n o termo geral de uma série com termos não nulos. Defina
Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge).
Se L>1, a série diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui cada símbolo significa: a_n é o n-ésimo termo, |\cdot| é o valor absoluto (para lidar com termos possivelmente negativos), e o limite pega o comportamento para n grande.
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão aos termos a_n=\dfrac{2^{n}}{n!}. Calculo a razão entre termos consecutivos: