Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
5.)
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}
5.)
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge. As informações dadas são apenas os termos gerais da série: para cada
o termo é
. A pergunta é única: determinar convergência ou divergência dessa série.
Passo 2
Primeiro cheque rápido (teste da soma dos termos): uma série só pode convergir se os termos individuais tendem a zero. Vamos avaliar
Como
quando
, segue que
. Portanto o teste necessário (termo tende a zero) não elimina a possibilidade de convergência — o limite é zero, então devemos usar outro teste.
Passo 3
Vou usar o teste da comparação direta. Lembrete do que ele diz (em linguagem simples):
- Se
para todo suficientemente grande e converge, então também converge. - A contrapartida útil: se
para todo suficientemente grande e diverge, então diverge.
Vou comparar os termos
com os termos da série harmônica
, cuja divergência é bem conhecida.
Passo 4
Mostro a desigualdade que precisamos: para
vale
. Uma justificativa simples é escrever
logo
. Dividindo membros positivos obtemos, para
,
Passo 5
Agora recordo por que a série harmônica
diverge: um argumento clássico por agrupamento é o seguinte.
Escreve-se a soma em blocos:
Escreve-se a soma em blocos:
No segundo bloco
. No terceiro bloco há quatro termos e cada um é pelo menos
, então o bloco vale pelo menos
. Em geral, cada bloco de
termos vale pelo menos
. Como há infinitos blocos, a soma total cresce sem limite; logo a série harmônica diverge.
Passo 6
Combine os fatos: para
temos
Como
(a harmônica, a partir de
) diverge, a comparação mostra que a série com termos maiores
também diverge.
Passo 7
Resumo final: o teste do termo deu limite zero (inconclusivo), mas pela comparação direta com a série harmônica — usando a desigualdade
para
— concluímos que a série diverge. Força aí — série com log no denominador costuma dar divergência porque o log cresce muito devagar!
Resposta
Diverge