Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
5.)
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}
converge ou diverge. As informações dadas são apenas os termos gerais da série: para cada n\ge2 o termo é \dfrac{1}{\ln n}. A pergunta é única: determinar convergência ou divergência dessa série.

Passo 2

Primeiro cheque rápido (teste da soma dos termos): uma série só pode convergir se os termos individuais tendem a zero. Vamos avaliar
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln n}.
Como \ln n\to\infty quando n\to\infty, segue que \dfrac{1}{\ln n}\to 0. Portanto o teste necessário (termo tende a zero) não elimina a possibilidade de convergência — o limite é zero, então devemos usar outro teste.

Passo 3

Vou usar o teste da comparação direta. Lembrete do que ele diz (em linguagem simples):
  • Se 0\le a_n \le b_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
  • A contrapartida útil: se 0\le b_n \le a_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n diverge, então \sum a_n diverge.
Vou comparar os termos \dfrac{1}{\ln n} com os termos da série harmônica \dfrac{1}{n}, cuja divergência é bem conhecida.

Passo 4

Mostro a desigualdade que precisamos: para n\ge2 vale \ln n \le n. Uma justificativa simples é escrever
\ln n=\int_{1}^{n}\frac{1}{t}\,dt \le \int_{1}^{n}1\,dt = n-1 \le n,
logo \ln n\le n. Dividindo membros positivos obtemos, para n\ge2,
\frac{1}{\ln n}\ge \frac{1}{n}.

Passo 5

Agora recordo por que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
diverge: um argumento clássico por agrupamento é o seguinte.
Escreve-se a soma em blocos:
1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots
No segundo bloco \frac{1}{3}+\frac{1}{4}\ge 2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}. No terceiro bloco há quatro termos e cada um é pelo menos \frac{1}{8}, então o bloco vale pelo menos \frac{4}{8}=\frac{1}{2}. Em geral, cada bloco de 2^{k} termos vale pelo menos \frac{1}{2}. Como há infinitos blocos, a soma total cresce sem limite; logo a série harmônica diverge.

Passo 6

Combine os fatos: para n\ge2 temos
0\le \frac{1}{n}\le \frac{1}{\ln n}.
Como \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n} (a harmônica, a partir de n=2) diverge, a comparação mostra que a série com termos maiores \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{\ln n} também diverge.

Passo 7

Resumo final: o teste do termo deu limite zero (inconclusivo), mas pela comparação direta com a série harmônica — usando a desigualdade \dfrac{1}{\ln n}\ge\dfrac{1}{n} para n\ge2 — concluímos que a série diverge. Força aí — série com log no denominador costuma dar divergência porque o log cresce muito devagar!

Resposta

Diverge

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