Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
10.)
\left\{\frac{n^{2}}{2 n-1}-\frac{n^{2}}{2 n+1}\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \{a_n\} definida por
a_n = \frac{n^2}{2n-1} \;-\;\frac{n^2}{2n+1}.
O conteúdo aqui é estudo de convergência de sequência por manipulação algébrica e cálculo de limite quando n\to\infty.

Passo 2

Vamos juntar as duas frações em uma só para ver melhor o comportamento quando n cresce. Calculamos
a_n = \frac{n^2}{2n-1} - \frac{n^2}{2n+1} = n^2\;\frac{(2n+1)-(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)}.

Passo 3

Observe que (2n+1)-(2n-1)=2. Então
a_n = n^2\;\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2\,n^2}{4n^2 - 1}.

Passo 4

Para analisar o limite dividimos numerador e denominador por n^2:
a_n = \frac{2\,n^2}{4n^2 -1} = \frac{2}{4 - \frac{1}{n^2}}.
Quando n\to\infty, o termo \frac{1}{n^2} vai a zero.

Passo 5

Logo
\lim_{n\to\infty}a_n = \frac{2}{4 - 0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.
Como o limite existe e é finito, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n^{2}}{2n-1}-\frac{n^{2}}{2n+1}\Bigr)=\frac{1}{2}.

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