Fazer o indicado em cada item:
O valor do \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{k}{k^{2}+n^{2}} é:

Passo 1

O enunciado pede o valor do
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{k}{k^{2} + n^{2}}\,.
O conteúdo aqui é reconhecer que essa soma, para n grande, se comporta como uma soma de Riemann que aproxima uma integral definida.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral em função de x_{k} = \tfrac{k}{n}. Note que
\frac{k}{k^{2} + n^{2}} = \frac{\frac{k}{n}}{n\bigl((\frac{k}{n})^{2}+1\bigr)} = \frac{1}{n}\,\frac{x_{k}}{x_{k}^{2}+1}\,.
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\sum_{k=0}^{n} \frac{k}{k^{2} + n^{2}} = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} \frac{x_{k}}{x_{k}^{2}+1}\,.

Passo 3

Para n\to\infty, os pontos x_{k} = \tfrac{k}{n} percorrem uniformemente o intervalo [0,1] e
\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} \frac{x_{k}}{x_{k}^{2}+1}
é exatamente a soma de Riemann de \displaystyle f(x)=\frac{x}{x^{2}+1} em [0,1]. Portanto, o limite da soma é
\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral:
\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Fazendo a substituição u = x^{2}+1, temos du=2x\,dx, ou seja, x\,dx = \tfrac{1}{2}du. Assim,
\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2} \int_{u=1}^{u=2} \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2} \bigl[\ln(u)\bigr]_{1}^{2} = \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{2}\ln 2.

Resposta

\frac{1}{2}\ln 2

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