Determine se as seguintes séries são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty(-1)^n 2^nn^3

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n2^nn^3
quanto à convergência (absoluta, condicional ou divergente). Para isso, vamos usar primeiro o teste da divergência (condição necessária) e depois o teste da razão para verificar a convergência absoluta.

Passo 2

Aplicamos o teste da divergência, que diz que, se
limntoinftyanneq 0,
então a série sum an diverge. Aqui
an=(-1)^n2^nn^3
e
l|anr|=2^nn^3,
Como 2^n cresce muito mais rápido que n^3, temos
limntoinfty2^nn^3=infty
e, portanto,
limntoinftyannão existe (não é (0)) ããé
Logo, por esse teste, a série diverge.

Passo 3

Para concluir também sobre a convergência absoluta, aplicamos o teste da razão à série dos módulos:
L=limntoinfty2^n+1(n+1)^32^nn^3 =limntoinfty2l(nn+1r)^3 =2>1
Como L>1, a série dos módulos diverge, isto é, não há convergência absoluta.

Resposta

A série é divergente.

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