Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty 3 n^2+5 n2^n(n^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty 3n^2+5n2^nl(n^2+1r)
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste de comparação com uma série geométrica.

Passo 2

Para todo n>=1 temos
n^2+1 >= n^2 Longrightarrow 3n^2+5nn^2+1 <= 3n^2+5nn^2 =3 + 5n <= 3 + 5 = 8

Passo 3

Logo o termo geral da série original satisfaz
0 <= 3n^2+5n2^nl(n^2+1r) <= 82^n
Chame
bn = 82^n

Passo 4

A série sumn=1^inftybn = 8sumn=1^infty12^n é geométrica de razão tfrac12<1, portanto converge. Pelo teste de comparação, a série original também converge (e converge absolutamente).

Resposta

A série
sumn=1^infty 3n^2+5n2^nl(n^2+1r)
converge.

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