Livro: Cálculo Vol. II, James Stewart, 9a. Edição: Seção 11.8 (Séries de Potência): 34
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=1^infty 2 cdot 4 cdot 6 cdots(2 n)n ! x^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potência
sumn=1^infty 2cdot4cdot6cdots(2n)n!,x^n
O conteúdo é séries de potência e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio R e depois testar os extremos x=pm R.

Passo 2

Primeiro simplificamos o coeficiente
2cdot4cdot6cdots(2n) =2^n,(1cdot2cdot3cdots n) =2^n,n!
Logo
2cdot4cdots(2n)n! =2^n,n!n! =2^n
A série vira
sumn=1^infty 2^n,x^n =sumn=1^infty (2x)^n,
uma série geométrica de razão 2x.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão. Chamando an=2^n, temos
L =limntoinfty |an+1x^n+1an x^n| =limntoinfty 2^n+1|x|^n+12^n|x|^n =2,|x|
Para convergir é preciso L<1, ou seja
2,|x|<1 Longrightarrow |x|<tfrac12
Portanto o raio de convergência é
R=tfrac12

Passo 4

Agora testamos os extremos:
  1. Para x=+tfrac12, o termo geral é (2cdottfrac12)^n=1^n=1, e sum1 diverge.
  2. Para x=-tfrac12, o termo geral é (2cdot(-tfrac12))^n=(-1)^n, cujos termos não tendem a zero, logo também diverge.
Assim o intervalo de convergência é aberto.

Resposta

Raio de convergência: R=tfrac12.
Intervalo de convergência: l(-tfrac12,tfrac12r).

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