Livro: Cálculo Vol. II, James Stewart, 9a. Edição: Seção 11.8 (Séries de Potência):
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potência
O conteúdo é séries de potência e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio e depois testar os extremos .
Passo 2
Primeiro simplificamos o coeficiente
Logo
A série vira
uma série geométrica de razão .
Passo 3
Aplicamos o teste da razão. Chamando , temos
Para convergir é preciso L<1, ou seja
2,|x|<1 Longrightarrow |x|<tfrac12
Portanto o raio de convergência é
R=tfrac12
Passo 4
Agora testamos os extremos:
Para x=+tfrac12, o termo geral é (2cdottfrac12)^n=1^n=1, e sum1 diverge.
Para x=-tfrac12, o termo geral é (2cdot(-tfrac12))^n=(-1)^n, cujos termos não tendem a zero, logo também diverge.
Assim o intervalo de convergência é aberto.
Resposta
Raio de convergência: R=tfrac12.
Intervalo de convergência: l(-tfrac12,tfrac12r).