Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
8.)
\sum_{k=3}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{k-2}

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita \displaystyle \sum_{k=3}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{k-2}
e pede para determinar convergência e, se convergente, calcular a soma. O conteúdo aqui é séries geométricas: reconhecemos a forma \sum a\,r^{k-1}, verificamos a condição \lvert r\rvert<1 para convergir e usamos a fórmula da soma.

Passo 2

Fazemos a mudança de índice j = k-2. Quando k=3, temos j=1; quando k\to\infty, j\to\infty. Assim,
\sum_{k=3}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{k-2} =\sum_{j=1}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{j}.

Passo 3

Isso é uma série geométrica com primeiro termo
a_{1} = \frac{3}{4},
razão
r = \frac{3}{4},
e como \bigl\lvert\tfrac{3}{4}\bigr\rvert<1, ela converge. A fórmula da soma é
\sum_{j=1}^{\infty}a_{1}r^{\,j-1}=\frac{a_{1}}{1-r}.
Aqui nosso primeiro termo já está em j=1, então usamos
\sum_{j=1}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{j} =\frac{\tfrac{3}{4}}{1-\tfrac{3}{4}} =\frac{\tfrac{3}{4}}{\tfrac14} =3.

Resposta

A série converge e sua soma é 3.

Exercícios relacionados