Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
8.) \sum_{k=3}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{k-2}
Passo 1
O enunciado nos dá a série infinita \displaystyle \sum_{k=3}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{k-2}
e pede para determinar convergência e, se convergente, calcular a soma. O conteúdo aqui é séries geométricas: reconhecemos a forma \sum a\,r^{k-1}, verificamos a condição \lvert r\rvert<1 para convergir e usamos a fórmula da soma.
Passo 2
Fazemos a mudança de índice j = k-2. Quando k=3, temos j=1; quando k\to\infty, j\to\infty. Assim,