Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
13.)
\left\{\left(\frac{n+3}{n-1}\right)^{n+3}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
a_n = \left(\frac{n+3}{n-1}\right)^{n+3}.
O conteúdo principal aqui é o limite clássico
\lim_{k\to\infty}\Bigl(1+\tfrac{a}{k}\Bigr)^{k}=e^{a},
que usaremos para descobrir o comportamento de a_n.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral em função de 1+\tfrac{4}{n-1}, temos
a_n = \left(\frac{n+3}{n-1}\right)^{n+3} = \Bigl(1+\tfrac{4}{n-1}\Bigr)^{(n-1)+4} = \Bigl(1+\tfrac{4}{n-1}\Bigr)^{n-1}\,\Bigl(1+\tfrac{4}{n-1}\Bigr)^{4}.

Passo 3

Como n\to\infty, o termo n-1\to\infty. Pelo limite conhecido, com a=4,
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\tfrac{4}{n-1}\Bigr)^{n-1} = e^{4}.

Passo 4

O segundo fator satisfaz
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\tfrac{4}{n-1}\Bigr)^{4} = 1^{4} = 1.
Logo, pelo limite do produto,
\lim_{n\to\infty}a_n = e^{4}\cdot 1 = e^{4},
e a sequência converge.

Resposta

\displaystyle e^{4}

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