Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10^{2 n}}{(2 n-1)!}
. (Use o Teste da razão)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10^{2n}}{(2n-1)!}
é convergente ou divergente, usando o Teste da razão. Vamos chamar
a_n = \frac{10^{2n}}{(2n-1)!},
e calcular o limite
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.

Passo 2

Escrevendo a razão entre termos consecutivos, temos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{10^{2(n+1)}/\bigl(2(n+1)-1\bigr)!}{10^{2n}/(2n-1)!} = \frac{10^{2n+2}}{(2n+1)!}\;\frac{(2n-1)!}{10^{2n}}.

Passo 3

Simplificando a expressão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = 10^2\;\frac{(2n-1)!}{(2n+1)!} = 100\;\frac{1}{(2n+1)(2n)} = \frac{100}{2n(2n+1)}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty} \frac{100}{2n(2n+1)} = 0.

Passo 4

Como L = 0 < 1, pelo Teste da razão a série converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{10^{2n}}{(2n-1)!} é convergente.

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