Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\sin ^{3}(n+1)}{2^{n}+n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}a_n \quad\text{com}\quad a_n = \frac{2+\sin^3(n+1)}{2^n + n^3}.
O conteúdo é teste de comparação com séries conhecidas, em especial série geométrica.

Passo 2

Observamos que para todo n vale
-1 \le \sin(n+1) \le 1 \quad\Longrightarrow\quad -1 \le \sin^3(n+1) \le 1
e, portanto,
1 \le 2 + \sin^3(n+1) \le 3.

Passo 3

Com isso, para todo n\ge1 temos
0 \le a_n = \frac{2+\sin^3(n+1)}{2^n + n^3} \le \frac{3}{2^n + n^3} \le \frac{3}{2^n}.

Passo 4

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{2^n}
é geométrica de razão \tfrac12<1, logo converge. Pelo teste da comparação, \sum a_n também converge.

Resposta

A série é convergente.

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