Use o Teste da razão para a séries alternadas para determinar se a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(2 n-1) \text { ! }}{3^{n}} converge.

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2n-1)!}{3^{n}}
e pede para usarmos o teste da razão para verificar a convergência. Para isso, vamos considerar os termos em valor absoluto
\;b_n = \frac{(2n-1)!}{3^{n}}
e aplicar o teste da razão a \sum b_n.

Passo 2

O teste da razão diz que, se
L = \lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}
existe e L>1, então \sum b_n diverge. Vamos calcular
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\tfrac{(2(n+1)-1)!}{3^{\,n+1}}}{\tfrac{(2n-1)!}{3^n}} = \frac{(2n+1)!}{3^{\,n+1}}\cdot\frac{3^n}{(2n-1)!} = \frac{(2n+1)(2n)\,(2n-1)!}{3\,(2n-1)!} = \frac{2n(2n+1)}{3}.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{2n(2n+1)}{3} = \lim_{n\to\infty}\frac{4n^2+2n}{3} = +\infty.
Como L>1, o teste da razão conclui que \sum b_n diverge, ou seja, a série não converge absolutamente.

Passo 4

Para qualquer série (alternada ou não) ser convergente, é necessário que o termo geral tenda a zero. Aqui o termo geral é
a_n = (-1)^n b_n
e em módulo b_n\to\infty, portanto a_n não tende a zero. Logo, a própria série \sum a_n diverge.

Resposta

A série diverge.

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