Use o Teste da razão para a séries alternadas para determinar se a série
converge.
Passo 1
O enunciado nos dá a série alternada
e pede para usarmos o teste da razão para verificar a convergência. Para isso, vamos considerar os termos em valor absoluto
e aplicar o teste da razão a
.
Passo 2
O teste da razão diz que, se
existe e
, então
diverge. Vamos calcular
Passo 3
Agora tomamos o limite quando
:
Como
, o teste da razão conclui que
diverge, ou seja, a série não converge absolutamente.
Passo 4
Para qualquer série (alternada ou não) ser convergente, é necessário que o termo geral tenda a zero. Aqui o termo geral é
e em módulo
, portanto
não tende a zero. Logo, a própria série
diverge.
Resposta
A série diverge.