Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}(n-1)!}{n!}

Passo 1

Temos a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}(n-1)!}{n!}.
O conteúdo é séries numéricas e iremos usar simplificação de termos seguida do teste da p-série (série do tipo \sum n^{-p}).

Passo 2

Observe que
\frac{(n-1)!}{n!}=\frac{1}{n},
logo o termo geral fica
a_n = \frac{\sqrt{n}(n-1)!}{n!} = \frac{\sqrt{n}}{n} = n^{-\tfrac12}.

Passo 3

Reconhecemos que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{-\tfrac12}
é uma p-série com p=\tfrac12. Sabemos que uma p-série \sum n^{-p} converge somente se p>1. Aqui p=\tfrac12\le1, logo diverge.

Resposta

A série diverge.

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