Neste exercício, vamos investigar a sequência
de termo geral
, onde
.
Para isso, comecemos demonstrando uma desigualdade que é muito útil. Demonstre por indução que, para todos
e
, vale a desigualdade
. Separamos agora em três casos. Caso 1. Mostre que se
, então
. Caso 2. Consideremos
. Construímos a sequência
de termo geral
. Mostre que
. Em seguida, mostre que
. Por fim, mostre que
. Caso 3. Consideremos
. Construímos a sequência
de termo geral
. Mostre que
. Em seguida, mostre que
. Por fim, mostre que
.
Para isso, comecemos demonstrando uma desigualdade que é muito útil. Demonstre por indução que, para todos
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
e pede que mostremos, em primeiro lugar, a desigualdade de Bernoulli
valendo para todo
e todo
. Em seguida, pede que usemos esse resultado para provar que
nos três casos
,
e
.
Passo 2
Prova por indução em
de
para todo
.
Base
:
logo vale para
.
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
Multiplicando os dois lados por
, obtemos
pois
. Isso completa o passo indutivo.
Passo 3
Caso
. Temos
para todo
, logo
Passo 4
Caso
. Definimos
Como
, segue
. Além disso,
e pela desigualdade de Bernoulli com
temos
Assim
. Como
, pelo confronto vem
, e daí
Passo 5
Caso
. Definimos
Como
, segue
. Note que
Aplicando Bernoulli com
vem
Logo
. Como
, temos
. Daí
Resposta
Em todos os casos
,
ou
, vale