Neste exercício, vamos investigar a sequência \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} de termo geral a_{n}=\sqrt[n]{p}, onde p \in(0,+\infty).
Para isso, comecemos demonstrando uma desigualdade que é muito útil. Demonstre por indução que, para todos h \in(-1,+\infty) e n \in \mathbb{N}, vale a desigualdade (1+h)^{n} \geq 1+n h. Separamos agora em três casos. Caso 1. Mostre que se p=1, então \lim a_{n}=1. Caso 2. Consideremos p>1. Construímos a sequência \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} de termo geral b_{n}=a_{n}-1. Mostre que 0<b_{n} \leq(p-1) / n. Em seguida, mostre que \lim b_{n}=0. Por fim, mostre que \lim a_{n}=1. Caso 3. Consideremos p<1. Construímos a sequência \left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} de termo geral c_{n}=\frac{1}{a_{n}}-1. Mostre que 0<c_{n} \leq(1 / p-1) / n. Em seguida, mostre que \lim c_{n}=0. Por fim, mostre que \lim a_{n}=1.

Passo 1

O enunciado define a sequência \bigl(a_{n}\bigr)_{n\in\mathbb{N}} por
a_{n} = \sqrt[n]{p} = p^{1/n},\quad p>0,
e pede que mostremos, em primeiro lugar, a desigualdade de Bernoulli
(1+h)^{n} \ge 1 + n\,h
valendo para todo h>-1 e todo n\in\mathbb{N}. Em seguida, pede que usemos esse resultado para provar que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=1
nos três casos p=1, p>1 e p<1.

Passo 2

Prova por indução em n de (1+h)^{n}\ge1+n\,h para todo h>-1.
Base n=1:
(1+h)^{1} = 1+h \ge 1 + 1\cdot h,
logo vale para n=1.
Passo indutivo: suponha que para algum n\ge1 valha
(1+h)^{n} \ge 1 + n\,h.
Multiplicando os dois lados por 1+h>0, obtemos
(1+h)^{n+1} \ge (1 + n\,h)\,(1+h) = 1 + (n+1)\,h + n\,h^{2} \ge 1 + (n+1)\,h,
pois n\,h^{2}\ge0. Isso completa o passo indutivo.

Passo 3

Caso p=1. Temos a_{n}=\sqrt[n]{1}=1 para todo n, logo
\lim_{n\to\infty}a_{n} = 1.

Passo 4

Caso p>1. Definimos
b_{n} = a_{n}-1 = p^{1/n}-1.
Como p^{1/n}>1, segue b_{n}>0. Além disso,
(1+b_{n})^{n} = p,
e pela desigualdade de Bernoulli com h=b_{n}>-1 temos
1 + n\,b_{n} \le (1+b_{n})^{n} = p \quad\Longrightarrow\quad b_{n} \le \frac{p-1}{n}.
Assim 0<b_{n}\le(p-1)/n. Como \lim_{n\to\infty}(p-1)/n = 0, pelo confronto vem \lim_{n\to\infty}b_{n}=0, e daí
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}(1+b_{n}) = 1 + 0 = 1.

Passo 5

Caso p<1. Definimos
c_{n} = \frac{1}{a_{n}} - 1 = p^{-1/n}-1.
Como p^{-1/n}>1, segue c_{n}>0. Note que
(1 + c_{n})^{n} = \frac{1}{(p^{1/n})^{n}} = \frac{1}{p} > 1.
Aplicando Bernoulli com h=c_{n} vem
1 + n\,c_{n} \le (1+c_{n})^{n} = \frac{1}{p} \quad\Longrightarrow\quad c_{n} \le \frac{\tfrac1p - 1}{n}.
Logo 0<c_{n}\le(1/p-1)/n. Como \lim_{n\to\infty}(1/p-1)/n = 0, temos \lim_{n\to\infty}c_{n}=0. Daí
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty}(1+c_{n}) = 1 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}a_{n}=1.

Resposta

Em todos os casos p=1, p>1 ou p<1, vale
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{p} = 1.

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