Determine se as seguintes séries são divergentes ou convergentes. No caso de convergência diga ainda se são absoluta ou condicionalmente convergentes. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} e^{1 / n}}{n^{3}} R .:
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, devo dizer se é convergente absolutamente ou apenas condicionalmente.
Informações relevantes fornecidas:
O termo geral é \dfrac{(-1)^{n} e^{1/n}}{n^{3}}.
O fator e^{1/n} tende para e^{0}=1 quando n\to\infty.
A presença de (-1)^n torna a sequência de sinais alternada, mas isso não determina por si só a convergência absoluta.
Passo 2
Definição de convergência absoluta e ideia de teste a usar.
Explicação (passo-a-passo): uma série \sum a_n é chamada absolutamente convergente se a série de termos positivos \sum |a_n| converge. Se \sum |a_n| diverge mas \sum a_n converge, diz-se convergente condicionalmente.
Portanto o limite L vale 1, que está no intervalo (0,+\infty). Assim, pelo teste da comparação por limite, \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento.
Passo 5
Conclusão sobre a série de termos absolutos e implicação para a série original.
A série de referência \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n^{3}} é uma série p com p=3>1, portanto converge (é uma série convergente conhecida: série p).
Pelo resultado do passo anterior, como \sum b_n converge e \lim a_n/b_n=1\in(0,+\infty), segue que
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{1/n}}{n^{3}}
também converge. Logo a série de termos absolutos converge, isto é, a série original é absolutamente convergente.
Lembrete final e consequência: toda série absolutamente convergente é convergente. Assim a série dada converge (e o tipo é absoluta).