Determine se as seguintes séries são divergentes ou convergentes. No caso de convergência diga ainda se são absoluta ou condicionalmente convergentes.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} e^{1 / n}}{n^{3}} R .:

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} e^{1 / n}}{n^{3}}
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, devo dizer se é convergente absolutamente ou apenas condicionalmente.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral é \dfrac{(-1)^{n} e^{1/n}}{n^{3}}.
  • O fator e^{1/n} tende para e^{0}=1 quando n\to\infty.
  • A presença de (-1)^n torna a sequência de sinais alternada, mas isso não determina por si só a convergência absoluta.

Passo 2

Definição de convergência absoluta e ideia de teste a usar.
Explicação (passo-a-passo): uma série \sum a_n é chamada absolutamente convergente se a série de termos positivos \sum |a_n| converge. Se \sum |a_n| diverge mas \sum a_n converge, diz-se convergente condicionalmente.
Aqui convém estudar a série de termos absolutos:
\sum_{n=1}^{+\infty} \left|\frac{(-1)^{n} e^{1 / n}}{n^{3}}\right| = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{1 / n}}{n^{3}}.
Se essa série convergir, então a série original converge absolutamente (e, portanto, converge).

Passo 3

Escolha do teste: comparação assintótica (teste da comparação limite).
Vou aplicar o teste da comparação por limite (limit comparison test). Enunciado do teste (com variáveis explicadas):
  • Se a_n\ge 0 e b_n>0 para todo n suficientemente grande e
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L
com 0<L<+\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem juntas.
Aqui tomo
a_n=\frac{e^{1/n}}{n^{3}} \qquad\text{e}\qquad b_n=\frac{1}{n^{3}}.
Ambas são positivas para todo n.

Passo 4

Cálculo do limite para aplicar o teste da comparação:
Calculo
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{e^{1/n}}{n^{3}}}{\dfrac{1}{n^{3}}} = \lim_{n\to\infty} e^{1/n}.
Como \lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n}=0, segue que
\lim_{n\to\infty} e^{1/n} = e^{0}=1.
Portanto o limite L vale 1, que está no intervalo (0,+\infty). Assim, pelo teste da comparação por limite, \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento.

Passo 5

Conclusão sobre a série de termos absolutos e implicação para a série original.
A série de referência \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n^{3}} é uma série p com p=3>1, portanto converge (é uma série convergente conhecida: série p).
Pelo resultado do passo anterior, como \sum b_n converge e \lim a_n/b_n=1\in(0,+\infty), segue que
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{1/n}}{n^{3}}
também converge. Logo a série de termos absolutos converge, isto é, a série original é absolutamente convergente.
Lembrete final e consequência: toda série absolutamente convergente é convergente. Assim a série dada converge (e o tipo é absoluta).

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} e^{1 / n}}{n^{3}} é absolutamente convergente (portanto converge).

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