Determine se os seguintes sinais são de potência ou de energia. Calcule a energia e a potência média de cada sinal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar se o sinal $ x_{1}(t) = \cos (\pi t) \sin(3 \pi t) $ é um sinal de potência ou de energia. Além disso, precisamos calcular a energia e a potência média desse sinal. Para resolver isso, vamos precisar entender as definições de sinais de potência e energia, além de utilizar algumas fórmulas de cálculo envolvendo integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são sinais de energia e sinais de potência:
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Sinal de Energia: Possui energia finita e potência média zero. Ou seja, se integrarmos o quadrado do sinal ao longo de todo o tempo, o resultado será um número finito.
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Sinal de Potência: Tem energia infinita, mas uma potência média finita. Isso é típico de sinais periódicos.
Sabendo disso, nosso objetivo vai ser determinar qual dessas categorias o $ x_{1}(t) $ se encaixa e então calcular a energia e a potência média.
Passo 3
Vamos começar simplificando o sinal $ x_{1}(t) = \cos (\pi t) \sin(3 \pi t) $. Podemos usar uma identidade trigonométrica para facilitar os cálculos:
Aplicando isso ao nosso sinal:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar a natureza do sinal. Como $ x_{1}(t) $ é uma combinação de senos com frequências múltiplas de $ 2\pi $, ele é um sinal periódico. Sinais periódicos geralmente são sinais de potência, pois sua energia ao longo de todo o tempo é infinita, mas a potência média é finita.
Passo 5
Vamos calcular a energia do sinal $ x_{1}(t) $:
A energia $ E $ é dada por:
Para sinais periódicos, essa integral tende ao infinito, confirmando que o sinal é de potência, não de energia.
Passo 6
Agora, vamos calcular a potência média $ P $ do sinal:
A potência média é definida como:
Como $ x_{1}(t) $ é periódico, podemos calcular a potência média em um período $ T $:
Substituindo $ x_{1}(t) $:
Calculando $ |x_{1}(t)|^2 $:
Integrando cada termo ao longo de um período e usando propriedades das funções seno, obtemos:
Resposta
O sinal $ x_{1}(t) = \cos (\pi t) \sin(3 \pi t) $ é um sinal de potência. A energia desse sinal é infinita e a potência média é $ \frac{1}{4} $ unidades.