Determine se os seguintes sinais são de potência ou de energia. Calcule a energia e a potência média de cada sinal.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se o sinal $ x_{2}(t) $ é um sinal de energia ou de potência. Além disso, precisamos calcular a energia e a potência média desse sinal. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de sinais de energia e sinais de potência, e usar as fórmulas apropriadas para fazer esses cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a diferença entre sinais de energia e sinais de potência.
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Sinal de Energia: É um sinal que tem energia finita e potência média nula. Ou seja, a energia total do sinal é limitada.A energia $ E $ de um sinal contínuo no tempo é dada por:
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Sinal de Potência: É um sinal que tem energia infinita e potência média finita. Ou seja, ele continua ao longo do tempo e sua potência média é calculada.A potência média $ P $ de um sinal contínuo no tempo é dada por:
Nosso objetivo é calcular tanto a energia quanto a potência média do sinal $ x_{2}(t) $ para determinar de qual tipo ele é.
Passo 3
Vamos analisar o sinal $ x_{2}(t) $:
Esse sinal é uma função cossenoidal que existe apenas no intervalo de $ t = -3 $ a $ t = 3 $ e é zero fora desse intervalo. Isso significa que o sinal não se estende para o infinito no tempo, mas tem duração limitada.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a energia do sinal $ x_{2}(t) $.
Usamos a fórmula da energia:
Como o sinal é zero fora de $ -3 \leq t < 3 $, a integral se reduz a esse intervalo:
Agora, precisamos resolver essa integral.
Passo 5
Para integrar $ \cos^2(3\pi t) $, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Substituindo na integral:
Passo 6
Calculando cada parte:
Para integrar $ \cos(6\pi t) $:
Avaliado de -3 a 3:
Então, a segunda parte da integral é zero.
Passo 7
Somando as duas partes:
Como a energia é finita, isso indica que $ x_{2}(t) $ é um sinal de energia.
Agora, mesmo que já tenhamos classificado o sinal, vamos calcular a potência média para completar a questão.
Passo 8
A potência média $ P $ é dada por:
No nosso caso, como o sinal existe apenas de $ t = -3 $ a $ t = 3 $, para $ T \geq 3 $:
Isso confirma que a potência média é zero, reforçando que $ x_{2}(t) $ é um sinal de energia.
Resposta
O sinal $ x_{2}(t) $ é um sinal de energia com energia total igual a $ 3 $ unidades e potência média igual a $ 0 $.