Determine se os seguintes sinais são de potência ou de energia. Calcule a energia e a potência média de cada sinal.
x2(t)=ccos (3 pi t),-3 <= t<3 0, fora

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se o sinal $ x_{2}(t) $ é um sinal de energia ou de potência. Além disso, precisamos calcular a energia e a potência média desse sinal. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de sinais de energia e sinais de potência, e usar as fórmulas apropriadas para fazer esses cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a diferença entre sinais de energia e sinais de potência.
  • Sinal de Energia: É um sinal que tem energia finita e potência média nula. Ou seja, a energia total do sinal é limitada.
    A energia $ E $ de um sinal contínuo no tempo é dada por:
    E
  • Sinal de Potência: É um sinal que tem energia infinita e potência média finita. Ou seja, ele continua ao longo do tempo e sua potência média é calculada.
    A potência média $ P $ de um sinal contínuo no tempo é dada por:
    E = integral-infty^+infty |x(t)|^2 , dt
Nosso objetivo é calcular tanto a energia quanto a potência média do sinal $ x_{2}(t) $ para determinar de qual tipo ele é.

Passo 3

Vamos analisar o sinal $ x_{2}(t) $:
x2(t)
Esse sinal é uma função cossenoidal que existe apenas no intervalo de $ t = -3 $ a $ t = 3 $ e é zero fora desse intervalo. Isso significa que o sinal não se estende para o infinito no tempo, mas tem duração limitada.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a energia do sinal $ x_{2}(t) $.
Usamos a fórmula da energia:
x2(t)
Como o sinal é zero fora de $ -3 \leq t < 3 $, a integral se reduz a esse intervalo:
E = integral-infty^+infty |x(t)|^2 , dt
Agora, precisamos resolver essa integral.

Passo 5

Para integrar $ \cos^2(3\pi t) $, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2(3pi t)
Aplicando isso:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
Substituindo na integral:
cos^2(3pi t) = 1 + cos(6pi t)2

Passo 6

Calculando cada parte:
  1. 12 integral-3^3 1 , dt = 12 times (3 - (-3)) = 12 times 6 = 3
  2. 12 integral-3^3 cos(6pi t) , dt
Para integrar $ \cos(6\pi t) $:
cos(6pi t)
Avaliado de -3 a 3:
integral cos(6pi t) , dt = sin(6pi t)6pi
Então, a segunda parte da integral é zero.

Passo 7

Somando as duas partes:
E = 3 + 0 = 3 unidades de energia
Como a energia é finita, isso indica que $ x_{2}(t) $ é um sinal de energia.
Agora, mesmo que já tenhamos classificado o sinal, vamos calcular a potência média para completar a questão.

Passo 8

A potência média $ P $ é dada por:
P
No nosso caso, como o sinal existe apenas de $ t = -3 $ a $ t = 3 $, para $ T \geq 3 $:
P = limT to infty 12T integral-T^+T |x(t)|^2 , dt
Isso confirma que a potência média é zero, reforçando que $ x_{2}(t) $ é um sinal de energia.

Resposta

O sinal $ x_{2}(t) $ é um sinal de energia com energia total igual a $ 3 $ unidades e potência média igual a $ 0 $.

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