Represente graficamente os seguintes sinais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para representar graficamente o sinal $ z_{2}(t) = y\left(-\frac{t}{2}\right) $. Estamos trabalhando com transformações de sinais, especificamente inversão no tempo e compressão/expansão temporal. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas transformações afetam o gráfico do sinal original $ y(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a inversão no tempo. Quando temos $ y(-t) $, isso significa que o sinal está sendo refletido em relação ao eixo vertical (ou eixo $ t $). Ou seja, o que acontece em $ t = 1 $ passa a acontecer em $ t = -1 $, e assim por diante. É como virar o sinal de cabeça para baixo no eixo do tempo.
Passo 3
Agora, vamos para a compressão ou expansão temporal. A expressão $ y\left(\frac{t}{a}\right) $ onde $ a $ é um número positivo, faz com que o sinal seja expansão se $ a < 1 $ e compressão se $ a > 1 $. No nosso caso, $ a = 2 $, então temos $ y\left(\frac{t}{2}\right) $, o que significa que o sinal será espalhado, ou seja, ficará mais “lento”.
Passo 4
Juntando as duas transformações que temos no $ z_{2}(t) = y\left(-\frac{t}{2}\right) $: primeiro, aplicamos a inversão no tempo com o $ -t $, refletindo o sinal, e depois a expansão temporal com o $ \frac{t}{2} $, esticando o sinal no eixo do tempo. A ordem dessas transformações importa!
Passo 5
Para representar graficamente $ z_{2}(t) $, siga estes passos:
- Refletir o sinal $ y(t) $ em relação ao eixo $ t $, obtendo $ y(-t) $.
- Expandir esse sinal refletido no tempo, substituindo $ t $ por $ \frac{t}{2} $, resultando em $ y\left(-\frac{t}{2}\right) $.
Isso vai dar uma versão invertida e esticada do sinal original $ y(t) $.
Resposta
Então, o gráfico de $ z_{2}(t) = y\left(-\frac{t}{2}\right) $ é a versão refletida e expandida no tempo do sinal original $ y(t) $. Basta aplicar a inversão no tempo e a expansão temporal conforme explicado para obter o gráfico desejado.