Determine a transformada de Fourier dos seguintes sinais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a transformada de Fourier do sinal $ x(t) = \operatorname{sinc}^{2}(t) $. Aqui estamos lidando com o conteúdo de Transformadas de Fourier, que é uma ferramenta matemática para analisar sinais no domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades das transformadas de Fourier, como a convolução e a transformada da função sinc.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a função sinc. A função $ \operatorname{sinc}(t) $ é definida como $ \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} $. Sua transformada de Fourier é uma função retangular, ou seja, tem valor constante em um intervalo e zero fora dele.
Passo 3
Sabemos que a transformada de Fourier de $ \operatorname{sinc}(t) $ é $ rect(f) $, onde $ rect(f) $ vale 1 para $ |f| \leq \frac{1}{2} $ e 0 caso contrário.
Passo 4
Agora, queremos a transformada de $ \operatorname{sinc}^{2}(t) $. Para isso, vamos usar a propriedade de que a transformada de Fourier de um produto de funções no tempo corresponde à convolução das transformadas no domínio da frequência. Ou seja:
No nosso caso, $ x(t) = y(t) = \operatorname{sinc}(t) $, então:
Passo 5
A convolução de duas funções retangulares $ rect(f) $ resulta em uma função triangular. Especificamente:
onde $ tri(f) $ é uma função triangular que vale 1 no centro e decresce linearmente até 0 nos extremos.
Passo 6
Portanto, a transformada de Fourier de $ \operatorname{sinc}^{2}(t) $ é uma função triangular no domínio da frequência, com largura dobrada em relação à função retangular original.
Resposta
A transformada de Fourier de $ x(t) = \operatorname{sinc}^{2}(t) $ é: