Determine quais dos seguintes sistemas de e.d.o expostos a seguir correspondem a sistemas de e.d.o. lineares. Para o caso em que sistema seja linear represente matricialmente:
\quad x_{1}^{\prime}(t)=t^{3} x_{1}(t)+x_{2}(t)+(2 t+1)^{2},\
x_{2}^{\prime}(t)=e^{3 t} x_{1}(t)+x_{2}(t)-\cos (\pi t) .

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} x_{1}'(t)=t^{3}x_{1}(t)+x_{2}(t)+(2t+1)^{2},\\\ x_{2}'(t)=e^{3t}x_{1}(t)+x_{2}(t)-\cos(\pi t), \end{cases}
e pede para decidir se é um sistema de e.d.o. linear e, em caso afirmativo, representá-lo em forma matricial. O conteúdo envolvido é definição de sistema linear de primeira ordem não-homogêneo e representação matricial x'=A(t)\,x+b(t).

Passo 2

Um sistema de e.d.o. é dito linear não-homogêneo se puder ser escrito na forma
x'(t)=A(t)\,x(t)+b(t),
onde A(t) é uma matriz cujas entradas dependem apenas de t e b(t) é um vetor de termos que dependem apenas de t. Nas equações dadas vemos que cada derivada x_i'(t) é combinação linear de x_1(t) e x_2(t) com coeficientes função de t, mais um termo que depende somente de t. Logo, o sistema é linear não-homogêneo.

Passo 3

Basta organizar os coeficientes de x_1,x_2 em A(t) e os termos independentes em b(t). Definindo
x(t)=\begin{pmatrix}x_{1}(t)\x_{2}(t)\end{pmatrix},
temos
A(t)=\begin{pmatrix} t^{3} & 1\\[6pt] e^{3t} & 1 \end{pmatrix}, \qquad b(t)=\begin{pmatrix} (2t+1)^{2}\\[4pt] -\cos(\pi t) \end{pmatrix}.]

Resposta

O sistema é linear não-homogêneo e, em forma matricial, fica
x'(t)=A(t)\,x(t)+b(t),
com
A(t)=\begin{pmatrix} t^{3} & 1\\\ e^{3t} & 1 \end{pmatrix}, \quad b(t)=\begin{pmatrix} (2t+1)^{2}\\\\ -\cos(\pi t) \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados