Determine quais dos seguintes sistemas de e.d.o expostos a seguir correspondem a sistemas de e.d.o. lineares. Para o caso em que sistema seja linear represente matricialmente:
\quad x_{1}^{\prime}(t)=t x_{1}(t)+x_{1}(t) x_{2}(t)+t,\
x_{2}^{\prime}(t)=t^{2} x_{1}(t)-x_{2}(t)+4 t .

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema
\begin{cases} x_{1}'(t)=t\,x_{1}(t)+x_{1}(t)\,x_{2}(t)+t,\\\ x_{2}'(t)=t^{2}\,x_{1}(t)-x_{2}(t)+4t, \end{cases}
e pede para identificar quais desses sistemas são lineares. Para que um sistema de EDO seja linear, a parte que depende das incógnitas x(t) deve poder ser escrita como
x'(t)=A(t)\,x(t)+b(t),
ou seja, não pode haver termos como produtos ou potências entre as componentes de x(t).

Passo 2

Analisando a primeira equação,
x_{1}'(t)=t\,x_{1}(t)+\underbrace{x_{1}(t)\,x_{2}(t)}_{\text{termo não linear}}+t,ã
vemos que há o termo x_{1}(t)\,x_{2}(t), que é bilinear em x_{1} e x_{2}. Isso viola a forma linear A(t)\,x(t)+b(t). Portanto o sistema é não linear.

Resposta

O sistema dado não é linear, pois contém o termo não linear x_{1}(t)\,x_{2}(t). Não há representação matricial na forma x'=A(t)x+b(t).

Exercícios relacionados