Determine quais dos seguintes sistemas de e.d.o expostos a seguir correspondem a sistemas de e.d.o. lineares. Para o caso em que sistema seja linear represente matricialmente:
\quad x_{1}^{\prime}(t)=\cos (2 \pi t) x_{1}+3 x_{2}(t),\
x_{2}^{\prime}(t)=x_{1}(t)-4 t^{2} x_{2}(t) .

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações
\begin{cases} x_{1}'(t)=\cos(2\pi t)\,x_{1}(t)+3\,x_{2}(t),\\[6pt] x_{2}'(t)=x_{1}(t)-4\,t^{2}\,x_{2}(t), \end{cases}
e pede para identificar se é um sistema linear e, em caso afirmativo, escrevê-lo em forma matricial. O conteúdo aqui é definição de sistema linear de EDOs e representação matricial do tipo \mathbf x' = A(t)\,\mathbf x + \mathbf b(t).]

Passo 2

Um sistema de EDOs é linear se cada derivada x_i' aparece como combinação linear das componentes x_j, com coeficientes que dependem só de t, e sem termos não lineares nem termos independentes (isto é, \mathbf b(t)=\mathbf0). Nas duas equações temos apenas termos do tipo coeficiente em função de t multiplicando x_1 ou x_2: não há produtos entre x's nem funções não lineares de x. Logo, é um sistema linear homogêneo com coeficientes dependentes de t.

Passo 3

Para representá-lo matricialmente, defina o vetor
\mathbf x(t)=\begin{pmatrix}x_{1}(t)\x_{2}(t)\end{pmatrix}.
Então podemos escrever
\mathbf x'(t)=A(t)\,\mathbf x(t),
onde
A(t)=\begin{pmatrix} \cos\bigl(2\pi t\bigr) & 3 \\\\ 1 & -4\,t^{2} \end{pmatrix}.

Resposta

O sistema é linear homogêneo e sua forma matricial é
\mathbf x'(t) =\begin{pmatrix} \cos\bigl(2\pi t\bigr) & 3 \\\\ 1 & -4\,t^{2} \end{pmatrix} \mathbf x(t).

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