Determine se os seguintes sistemas são possíveis.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}-4 x_{3}=0 \\\ 2 x_{1}-3 x_{2}+2 x_{3}=1 \\\ 5 x_{1}-3 x_{2}-10 x_{3}=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com três equações e três incógnitas:
\begin{cases} x_{1}-4x_{3}=0,\\\\ 2x_{1}-3x_{2}+2x_{3}=1,\\\\ 5x_{1}-3x_{2}-10x_{3}=1. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares por substituição ou eliminação e verificação de consistência (ranks da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada).

Passo 2

Da primeira equação isolamos x_{1}:
x_{1}-4x_{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=4x_{3}.

Passo 3

Substituímos x_{1}=4x_{3} nas segunda e terceira equações:
Para a segunda:
2(4x_{3})-3x_{2}+2x_{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad 8x_{3}+2x_{3}-3x_{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad 10x_{3}-3x_{2}=1.
Para a terceira:
5(4x_{3})-3x_{2}-10x_{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad 20x_{3}-3x_{2}-10x_{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad 10x_{3}-3x_{2}=1.

Passo 4

Observamos que, após a substituição, a segunda e a terceira equações coincidem:
10x_{3}-3x_{2}=1.
Portanto, só temos duas equações independentes para três incógnitas. O sistema não gera contradição (rank da matriz de coeficientes = rank da matriz aumentada =2).

Passo 5

Concluímos que o sistema é consistente (possível) e indeterminado (infinitas soluções). Tomando um parâmetro t=x_{3}, obtemos
x_{1}=4t, \quad -3x_{2}=1-10t \;\Longrightarrow\; x_{2}=\frac{10t-1}{3}, \quad x_{3}=t, \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

O sistema é possível e indeterminado, com solução geral
(x_{1},x_{2},x_{3}) = \Bigl(4t,\;\frac{10t-1}{3},\;t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

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