Determine se os seguintes sistemas são possíveis.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}+2 x_{3}=1 \\\ 2 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=1 \\\ 5 x_{1}-x_{2}+8 x_{3}=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com três equações e três incógnitas, cujo conteúdo é determinação de consistência de um sistema. Para isso, vamos usar eliminação de Gauss: montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares e verificar se surge alguma contradição do tipo 0 = c com c\neq0.

Passo 2

Começamos escrevendo a matriz aumentada
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 1\\\\ 2 & -1 & 2 & 1\\\\ 5 & -1 & 8 & 0 \end{array}\right]
e aplicamos
R_2 \leftarrow R_2 - 2\,R_1, \quad R_3 \leftarrow R_3 - 5\,R_1.
Isso produz
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 1\\\\ 0 & -1 & -2 & -1\\\\ 0 & -1 & -2 & -5 \end{array}\right].

Passo 3

Agora subtraímos
R_3 \leftarrow R_3 - R_2,
ficando
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 1\\\\ 0 & -1 & -2 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{array}\right].
A última linha equivale a
0\;x_{1}+0\;x_{2}+0\;x_{3}=-4,
ou seja, 0=-4, que é uma contradição.

Passo 4

Como na eliminação surgiu a linha impossível 0=-4, o sistema não admite solução.

Resposta

O sistema é impossível (inconsistente).

Exercícios relacionados