Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano são círculos. Caso afirmativo, ache o centro C e o raio r. Caso negativo, identifique o subconjunto.
\mathcal{S}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}-10 x-14 y+25=0\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
\mathcal{S}=\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}-10x-14y+25=0\right\}.
O que se pede:
  • Determinar se \mathcal{S} é um círculo.
  • Se for círculo, achar o centro C e o raio r.
  • Se não for círculo, identificar qual é o subconjunto descrito.
Informações relevantes do enunciado:
  • Temos uma equação quadrática em x e y do tipo x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0 com D=-10, E=-14 e F=25.
  • A decisão (é círculo ou não) depende de podermos reescrever essa equação na forma padrão de um círculo.

Passo 2

O que é a forma padrão de um círculo e como ler o centro e o raio?
A forma padrão de um círculo no plano é
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},
onde:
  • (a,b) é o centro do círculo,
  • r\ge 0 é o raio.
Portanto, para decidir se a equação dada representa um círculo e para encontrar C e r precisamos reescrevê-la na forma acima.

Passo 3

Método para reescrever: completar o quadrado.
Explicando a ideia com calma: se temos um polinômio quadrático em x como x^{2}+px, podemos escrever
x^{2}+px=\bigl(x+\tfrac{p}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{p}{2}\bigr)^{2}.
Isso transforma um termo quadrático+linear numa diferença entre um quadrado perfeito e uma constante. Fazemos a mesma coisa para y. Aplicando isso aos termos em x e em y da equação, conseguimos isolar dois quadrados perfeitos e obter a forma padrão do círculo.
Também existe uma fórmula direta (útil para checar): para uma equação
x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0
o centro é
\bigl(-\tfrac{D}{2},-\tfrac{E}{2}\bigr)
e o raio é
r=\sqrt{\left(\tfrac{D}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{E}{2}\right)^{2}-F},
quando a quantidade dentro da raiz for não negativa. Vou aplicar o método de completar o quadrado (mais didático) e depois confirmar com a fórmula direta.

Passo 4

Aplicando completar o quadrado à equação dada. Começo reagrupando termos em x e y:
x^{2}-10x+y^{2}-14y+25=0.
Passe o termo constante para o outro lado:
x^{2}-10x+y^{2}-14y=-25.
Complete o quadrado em x: use x^{2}-10x=(x-5)^{2}-25, porque \bigl(x-5\bigr)^{2}=x^{2}-10x+25.
Complete o quadrado em y: use y^{2}-14y=(y-7)^{2}-49, porque \bigl(y-7\bigr)^{2}=y^{2}-14y+49.
Substituindo essas identidades:
\bigl(x-5\bigr)^{2}-25+\bigl(y-7\bigr)^{2}-49=-25.

Passo 5

Agora simplifico a equação acima. Somando os termos constantes do lado esquerdo:
\bigl(x-5\bigr)^{2}+\bigl(y-7\bigr)^{2}-74=-25.
Passe -74 para o outro lado:
\bigl(x-5\bigr)^{2}+\bigl(y-7\bigr)^{2}= -25+74.
Calcule o lado direito:
-25+74=49.
Portanto obtemos a forma padrão:
\bigl(x-5\bigr)^{2}+\bigl(y-7\bigr)^{2}=49.
Isso mostra que \mathcal{S} é um círculo. Identificando os parâmetros:
  • Centro C=(5,7).
  • Raio r=\sqrt{49}=7.

Passo 6

Checagem rápida pela fórmula direta (confirmação):
Da equação inicial temos D=-10, E=-14, F=25.
Então
-\tfrac{D}{2}=5,\qquad -\tfrac{E}{2}=7,
e
r=\sqrt{\left(\tfrac{D}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{E}{2}\right)^{2}-F} =\sqrt{5^{2}+7^{2}-25} =\sqrt{25+49-25} =\sqrt{49}=7,
igual ao resultado anterior — tudo consistente.

Passo 7

Dica rápida para a prova (amigo que te ajuda a não perder tempo):
  • Ao ver uma equação do tipo x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0 já pense em completar quadrado em x e em y ou aplique diretamente C=(-D/2,-E/2) e a fórmula do raio. Isso costuma ser rápido e confiável.
  • Verifique sempre que o radicando do raio é não negativo; se fosse negativo, não haveria pontos reais (conjunto vazio).

Resposta

C=(5,7)
r=7

Exercícios relacionados