Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano são círculos. Caso afirmativo, ache o centro
e o raio
. Caso negativo, identifique o subconjunto.
.
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
.
O que se pede:
O que se pede:
- Determinar se
é um círculo. - Se for círculo, achar o centro
e o raio . - Se não for círculo, identificar qual é o subconjunto descrito.
Informações relevantes do enunciado:
- Temos uma equação quadrática em
e do tipo com , e . - A decisão (é círculo ou não) depende de podermos reescrever essa equação na forma padrão de um círculo.
Passo 2
O que é a forma padrão de um círculo e como ler o centro e o raio?
A forma padrão de um círculo no plano é
A forma padrão de um círculo no plano é
onde:
-
é o centro do círculo, -
é o raio.
Portanto, para decidir se a equação dada representa um círculo e para encontrar
e
precisamos reescrevê-la na forma acima.
Passo 3
Método para reescrever: completar o quadrado.
Explicando a ideia com calma: se temos um polinômio quadrático em como
, podemos escrever
Explicando a ideia com calma: se temos um polinômio quadrático em
Isso transforma um termo quadrático+linear numa diferença entre um quadrado perfeito e uma constante. Fazemos a mesma coisa para
. Aplicando isso aos termos em
e em
da equação, conseguimos isolar dois quadrados perfeitos e obter a forma padrão do círculo.
Também existe uma fórmula direta (útil para checar): para uma equação
o centro é
e o raio é
quando a quantidade dentro da raiz for não negativa. Vou aplicar o método de completar o quadrado (mais didático) e depois confirmar com a fórmula direta.
Passo 4
Aplicando completar o quadrado à equação dada. Começo reagrupando termos em
e
:
Passe o termo constante para o outro lado:
Complete o quadrado em
: use
, porque
.
Complete o quadrado em : use
, porque
.
Complete o quadrado em
Substituindo essas identidades:
Passo 5
Agora simplifico a equação acima. Somando os termos constantes do lado esquerdo:
Passe
para o outro lado:
Calcule o lado direito:
Portanto obtemos a forma padrão:
Isso mostra que
é um círculo. Identificando os parâmetros:
- Centro
. - Raio
.
Passo 6
Checagem rápida pela fórmula direta (confirmação):
Da equação inicial temos ,
,
.
Então
Da equação inicial temos
Então
e
igual ao resultado anterior — tudo consistente.
Passo 7
Dica rápida para a prova (amigo que te ajuda a não perder tempo):
- Ao ver uma equação do tipo
já pense em completar quadrado em e em ou aplique diretamente e a fórmula do raio. Isso costuma ser rápido e confiável. - Verifique sempre que o radicando do raio é não negativo; se fosse negativo, não haveria pontos reais (conjunto vazio).