Determine se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. No caso afirmativo determine a transformação inversa.
i)
dada por
,
i)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
Precisamos decidir se
é um isomorfismo (i.e.\ injetora e sobrejetora). Para isso, vamos estudar o núcleo de
e usar o teorema da dimensão (nulidade
osto).
Passo 2
Para encontrar
Da primeira e da terceira equação vem . Logo
que é um subespaço de dimensão
. Pelo teorema da dimensão em espaços vetoriais de dimensão
,
Como
,
não é injetora (e portanto não é sobrejetora), logo não pode ser um isomorfismo.
Resposta
A transformação
não é isomorfismo, pois
tem dimensão
, isto é, não é trivial, e assim não existe inversa.