Determine se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. No caso afirmativo determine a transformação inversa.
i) T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(z, x-y,-z),

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:R^3toR^3 definida por
T(x,y,z) = (,z,;x - y,;-z,)
Precisamos decidir se T é um isomorfismo (i.e.\ injetora e sobrejetora). Para isso, vamos estudar o núcleo de T e usar o teorema da dimensão (nulidade +posto).

Passo 2

Para encontrar
Da primeira e da terceira equação vem . Logo
que é um subespaço de dimensão . Pelo teorema da dimensão em espaços vetoriais de dimensão ,
Como , não é injetora (e portanto não é sobrejetora), logo não pode ser um isomorfismo.

Resposta

A transformação T não é isomorfismo, pois ker T tem dimensão 1, isto é, não é trivial, e assim não existe inversa.

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