Determine se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. No caso afirmativo determine a transformação inversa.
iii) dada por ,
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede para verificar se é isomorfismo (isto é, bijetiva). Para isso, vamos analisar o posto (rank) da matriz de e o seu núcleo, pois bijetividade em espaços finito-dimensionais equivale a injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Vamos escrever a matriz de nas bases canônicas de e . Para vemos que
Logo
é a matriz de .
Passo 3
Calculemos o posto de . As duas linhas
são linearmente independentes (não existe escalar tal que ). Então
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
ou seja, , logo não é injetiva. Note também que , de modo que é sobrejetiva em , mas a falta de injetividade impede a bijeção.
Passo 4
Como T não é injetiva, não é bijetiva e, portanto, não pode ser um isomorfismo de espaços vetoriais.