Determine se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. No caso afirmativo determine a transformação inversa.
iii) T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(2 x-y, z+4 x),

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T:R^3toR^2, T(x,y,z)=(2x - y,;z + 4x),
e pede para verificar se T é isomorfismo (isto é, bijetiva). Para isso, vamos analisar o posto (rank) da matriz de T e o seu núcleo, pois bijetividade em espaços finito-dimensionais equivale a injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de nas bases canônicas de e . Para vemos que
Logo
é a matriz de .

Passo 3

Calculemos o posto de . As duas linhas
são linearmente independentes (não existe escalar tal que ). Então
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
ou seja, , logo não é injetiva. Note também que , de modo que é sobrejetiva em , mas a falta de injetividade impede a bijeção.

Passo 4

Como T não é injetiva, não é bijetiva e, portanto, não pode ser um isomorfismo de espaços vetoriais.

Resposta

T não é isomorfismo.

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