Provar o Teorema do Núcleo e da Imagem para transformações lineares com espaços de dimensão finita.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dada uma transformação linear Tcolon Vto W entre espaços vetoriais de dimensão finita, vale a relação
diml(ker(T)r)+diml(Im(T)r)=dim(V)
Vamos usar o conceito de base, o teorema de extensão de base e propriedades de dimensão.

Passo 2

Seja k=diml(ker(T)r). Escolhemos uma base da parte nula:
,v1,dots,vk
é base de ker(T). Pelo teorema de extensão de base, podemos encontrar vetores vk+1,dots,vn em V tais que
B=,v1,dots,vk,vk+1,dots,vn
é uma base de V. Logo dim(V)=n.

Passo 3

Mostramos que os vetores
T(vk+1),dots,T(vn)
geram Im(T). De fato, para qualquer winIm(T) existe vin V com T(v)=w. Como B é base de V, escrevemos
v=sumi=1^kai,vi+sumj=k+1^naj,vj
Aplicando T e lembrando que T(vi)=0 para i<= k, obtemos
w=T(v) =sumi=1^kai,T(vi)+sumj=k+1^naj,T(vj) =sumj=k+1^naj,T(vj),
logo w está no span de T(vk+1),dots,T(vn).

Passo 4

Provamos que T(vk+1),dots,T(vn) são linearmente independentes. Suponha
sumj=k+1^nbj,T(vj)=0
Então
T!l(sumj=k+1^nbj,vjr) =sumj=k+1^nbj,T(vj) =0,
ou seja u=sumj=k+1^nbj,vj pertence a ker(T). Mas v1,dots,vk é base de ker(T), então u se escreve de modo único como combinação linear de v1,dots,vk. Como também foi escrito em termos de vk+1,dots,vn (que não aparecem na base do núcleo), a única forma de conciliar as duas escritas é ter bk+1=cdots=bn=0. Logo as imagens são independentes.

Passo 5

Concluímos que T(vk+1),dots,T(vn) é base de Im(T). Assim
diml(Im(T)r)=n-k
Como k=dim(ker(T)) e n=dim(V), segue
diml(ker(T)r)+diml(Im(T)r) =k+(n-k) =n =dim(V)

Resposta

Ficou provado que, para toda transformação linear Tcolon Vto W com dim(V)<infty,
boxeddiml(ker(T)r)+diml(Im(T)r)=dim(V)

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