Provar o Teorema do Núcleo e da Imagem para transformações lineares com espaços de dimensão finita.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dada uma transformação linear
entre espaços vetoriais de dimensão finita, vale a relação
Vamos usar o conceito de base, o teorema de extensão de base e propriedades de dimensão.
Passo 2
Seja
. Escolhemos uma base da parte nula:
é base de
. Pelo teorema de extensão de base, podemos encontrar vetores
em
tais que
é uma base de
. Logo
.
Passo 3
Mostramos que os vetores
geram
. De fato, para qualquer
existe
com
. Como
é base de
, escrevemos
Aplicando
e lembrando que
para
, obtemos
logo
está no span de
.
Passo 4
Provamos que
são linearmente independentes. Suponha
Então
ou seja
pertence a
. Mas
é base de
, então
se escreve de modo único como combinação linear de
. Como também foi escrito em termos de
(que não aparecem na base do núcleo), a única forma de conciliar as duas escritas é ter
. Logo as imagens são independentes.
Passo 5
Concluímos que
é base de
. Assim
Como
e
, segue
Resposta
Ficou provado que, para toda transformação linear
com
,