Determine se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. No caso afirmativo determine a transformação inversa.
ii)
dada por
,
ii)
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
e pergunta se é um isomorfismo. Para ser isomorfismo,
tem de ser bijetora, o que equivale a ser injetora ou, em
, ter matriz de determinante não nulo.
Passo 2
Vamos escrever
na base canônica. Se
é o vetor de entrada, então
Denotemos esta matriz por
Passo 3
Calculemos o determinante de
A :
Como
det(A)=0 ,
A não é invertível.
Passo 4
Uma consequência direta é que
T não é injetora (tem núcleo não trivial). De fato,
implying
x=y=z , ou seja
ker T=(t,t,t)mid tinRneq0 .
Resposta
A transformação
T não é isomorfismo (não é injetora e sua matriz tem determinante zero), logo não existe
T^-1 .