Determine se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. No caso afirmativo determine a transformação inversa.
ii) T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(z-x, x-y, y-z),

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (,z - x,;x - y,;y - z,)
e pergunta se é um isomorfismo. Para ser isomorfismo, T tem de ser bijetora, o que equivale a ser injetora ou, em R^3, ter matriz de determinante não nulo.

Passo 2

Vamos escrever na base canônica. Se é o vetor de entrada, então
Denotemos esta matriz por

Passo 3

Calculemos o determinante de A:
det(A) = -1cdotdet-1&01&-1 +1cdotdet1&-10&1 = -1cdot(1) + 1cdot(1) = 0
Como det(A)=0, A não é invertível.

Passo 4

Uma consequência direta é que T não é injetora (tem núcleo não trivial). De fato,
T(x,y,z)=(0,0,0);Longrightarrow; z-x=0,;x-y=0,;y-z=0
implying x=y=z, ou seja ker T=(t,t,t)mid tinRneq0.

Resposta

A transformação T não é isomorfismo (não é injetora e sua matriz tem determinante zero), logo não existe T^-1.

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