Determine se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. No caso afirmativo determine a transformação inversa.
iv)
dada por
,
iv)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede para decidir se ela é um isomorfismo (isto é, bijetiva linear) e, em caso afirmativo, achar
. Para isso, vamos representar
por uma matriz na base canônica, calcular seu determinante e, se for não nulo, inverter essa matriz.
Passo 2
Para achar a matriz de
na base canônica, vemos
e
.
Logo,
Logo,
]
Passo 3
O determinante de
é
Como
, a matriz é invertível e, portanto,
é um isomorfismo.
Passo 4
Para obter
, usamos a fórmula da inversa de
. Se
então
Aqui
,
,
,
e
. Assim
]
Passo 5
Multiplicando
pelo vetor
, obtemos