Determine se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. No caso afirmativo determine a transformação inversa.
iv) T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(3 y, y+4 x),

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T:R^2toR^2, T(x,y)=(3y,;y+4x),
e pede para decidir se ela é um isomorfismo (isto é, bijetiva linear) e, em caso afirmativo, achar T^-1. Para isso, vamos representar T por uma matriz na base canônica, calcular seu determinante e, se for não nulo, inverter essa matriz.

Passo 2

Para achar a matriz de T na base canônica, vemos
T(1,0)=(0,,0+4cdot1)=(0,4) e
T(0,1)=(3cdot1,,1+4cdot0)=(3,1).
Logo,
[T] = 0 & 3[6pt]4 & 1
]

Passo 3

O determinante de [T] é
det[T] = 0cdot1 - 4cdot3 = -12
Como det[T]neq0, a matriz é invertível e, portanto, T é um isomorfismo.

Passo 4

Para obter , usamos a fórmula da inversa de . Se
então
Aqui , , , e . Assim
]

Passo 5

Multiplicando [T]^-1 pelo vetor (u,v), obtemos
T^-1(u,v) =l(-tfrac112u + tfrac14v,;tfrac13u + 0cdot vr) =l(tfrac3v - u12,;tfracu3r)

Resposta

T é um isomorfismo e
T^-1(u,v)=l(tfrac3v - u12,;tfracu3r)

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