Determine se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. No caso afirmativo determine a transformação inversa.
v) dada por
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Tcolon P3(R) to M(2,2), Tl(a x^3+b x^2+c x+dr) = -,b & d c - a & a + b
Como dimP3(R)=4 e dim M(2,2)=4, basta mostrar que T é injetora (ou sobrejetora) para concluir que é um isomorfismo.
Passo 2
Para ver que T é injetora, suponha
Tl(a x^3 + b x^2 + c x + dr) = 0 & 0 0 & 0
Então -b=0 dá b=0, d=0, c-a=0 dá c=a e a+b=0 dá a=0. Logo a=b=c=d=0, ou seja, o núcleo é trivial e T é injetora. Como os espaços têm mesma dimensão, T é um isomorfismo.
Passo 3
Para achar T^-1, seja
M= m11&m12 m21&m22 in M(2,2)
Queremos a,b,c,d tais que
-,b & d c - a & a + b = m11&m12 m21&m22
Das entradas obtemos o sistema
b=-,m11, d=m12, c-a=m21, a+b=m22
Da quarta equação vem a = m22+m11. Então
c = a + m21 = m22+m11+m21, b=-m11, d=m12
Resposta
T é um isomorfismo e sua inversa é
T^-1!gl( m11&m12 m21&m22 gr) = (m22+m11),x^3 -,m11,x^2 +(m21+m22+m11),x +,m12