Determine quais das seguintes transformações são aplicações lineares:
\mathrm{T}: \mathrm{R}^{2} \rightarrow \mathrm{R}^{2}
\mathrm{T}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}^{2}
T(x, y)=\left(x^{2}, x\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais das aplicações são lineares. Temos duas situações a testar:
  1. T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por T(x,y) = \bigl(x^2,\,x\bigr).
  2. T\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 dada por T(t) = \bigl(t^2,\,t\bigr).
Para ser aplicação linear, T deve satisfazer, para todos u,v no domínio e todo escalar c:
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade),
  2. T(c\,u)=c\,T(u) (homogeneidade).

Passo 2

Teste da aditividade em T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2. Tome
u=(x_1,y_1),\quad v=(x_2,y_2).
Então
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2),
logo
T(u+v) = \bigl((x_1+x_2)^2,\;x_1+x_2\bigr) = \bigl(x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2,\;x_1+x_2\bigr).
Por outro lado,
T(u)+T(v) = \bigl(x_1^2,x_1\bigr) + \bigl(x_2^2,x_2\bigr) = \bigl(x_1^2 + x_2^2,\;x_1 + x_2\bigr).
Como há o termo 2x_1x_2 em T(u+v) que não aparece em T(u)+T(v), a aditividade falha. Logo, essa T não é linear.

Passo 3

Teste da aditividade em T\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2. Tome a,b\in\mathbb{R}. Então
T(a+b) = \bigl((a+b)^2,\;a+b\bigr) = \bigl(a^2 + 2ab + b^2,\;a+b\bigr),
enquanto
T(a) + T(b) = \bigl(a^2,a\bigr) + \bigl(b^2,b\bigr) = \bigl(a^2 + b^2,\;a + b\bigr).
De novo aparece o termo 2ab em T(a+b) que não está em T(a)+T(b). Logo, também falha a aditividade, e essa T não é linear.

Resposta

Nenhuma das transformações é aplicação linear.

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