Verifique se os vetores são LD ou LI. Caso sejam LD escrevam um vetor como combinação dos demais
\mathrm{v}_{1}=(1,0,2), \mathrm{v}_{2}=(1,-4,-1) e \mathrm{v}_{3}=(1,-5,0).

Passo 1

O enunciado fornece três vetores em \mathbb{R}^3:
v_1 = (1,0,2),\quad v_2 = (1,-4,-1),\quad v_3 = (1,-5,0),
e pede para verificar se eles são linearmente dependentes (LD) ou independentes (LI). Para isso, vamos usar a propriedade de que um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^3 é LI se, e somente se, o determinante da matriz formada por eles (como linhas ou colunas) for diferente de zero.

Passo 2

Montamos a matriz M cujas linhas são v_1, v_2 e v_3:
M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\[-6pt] 1 & -4 & -1 \\[-6pt] 1 & -5 & 0 \end{pmatrix}.
Como são três vetores em \mathbb{R}^3, basta calcular \det(M).]

Passo 3

Calculamos o determinante de M pela primeira linha:
\det(M) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -4 & -1 \\[-3pt] -5 & 0 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[-3pt] 1 & 0 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -4 \\[-3pt] 1 & -5 \end{vmatrix}.
Os menores valem
\begin{vmatrix} -4 & -1 \\[-3pt] -5 & 0 \end{vmatrix} = (-4)\cdot 0 - (-1)\cdot(-5) = -5, \quad \begin{vmatrix} 1 & -4 \\[-3pt] 1 & -5 \end{vmatrix} = 1\cdot(-5) - (-4)\cdot 1 = -1.
Logo,
\det(M) = 1\cdot(-5) + 2\cdot(-1) = -5 - 2 = -7 \neq 0.]

Passo 4

Como \det(M)\neq 0, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores v_1, v_2 e v_3 são linearmente independentes.

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