Determine as seguintes transformadas inversas usando a ideia de convoluções:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S(S-1)^{2}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de
\frac{1}{S(S-1)^{2}}.
Então a tarefa é calcular \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{S(S-1)^{2}}\right\} e apresentar o resultado como função do tempo t. Não há outras informações adicionais além da expressão dada.

Passo 2

Vamos usar a ideia de convolução (conforme solicitado). Primeiro escrevemos a função em S como produto de duas frações cujas transformadas inversas conhecemos:
\frac{1}{S(S-1)^{2}}=\frac{1}{S}\cdot\frac{1}{(S-1)^{2}}.
A ideia é aplicar o teorema da convolução: se F(S)=\mathcal{L}\{f(t)\} e G(S)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então
\mathcal{L}^{-1}\{F(S)G(S)\}=(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.

Passo 3

Precisamos das transformadas inversas das duas parcelas simples:
  • Para \dfrac{1}{S} temos a transformada inversa constante
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S}\right\}=1.
Aqui 1 é a função constante f(t)=1 para t\ge0.
  • Para \dfrac{1}{(S-1)^{2}} usamos a propriedade das transformadas: \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{S-a} e a propriedade \mathcal{L}\{t f(t)\}=-\dfrac{d}{dS}F(S). Aplicando com f(t)=e^{at} e a=1 obtemos
\mathcal{L}\{t e^{t}\}=-\frac{d}{dS}\left(\frac{1}{S-1}\right)=\frac{1}{(S-1)^{2}}.
Logo
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(S-1)^{2}}\right\}=t e^{t}.

Passo 4

Agora aplicamos a convolução com f(t)=1 e g(t)=t e^{t}:
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau=\int_{0}^{t} 1\cdot\bigl(t-\tau\bigr)e^{\,t-\tau}\,d\tau.
Para simplificar a integral, fazemos a mudança de variável u=t-\tau. Quando \tau=0 temos u=t; quando \tau=t temos u=0. A integral inverte os limites e passa a ser
\int_{0}^{t} (t-\tau)e^{\,t-\tau}\,d\tau=\int_{t}^{0} u e^{u}(-du)=\int_{0}^{t} u e^{u}\,du.
Assim precisamos calcular \displaystyle\int_{0}^{t} u e^{u}\,du.

Passo 5

Calculamos a integral por partes. Seja I(t)=\displaystyle\int_{0}^{t} u e^{u}\,du.
Tomamos U=u e dV=e^{u}du. Então dU=du e V=e^{u}. Pela fórmula da integração por partes,
I(t)=\bigl.u e^{u}\bigr|_{0}^{t}-\int_{0}^{t} e^{u}\,du = t e^{t} - \bigl(e^{t}-e^{0}\bigr).
Como e^{0}=1, obtemos
I(t)=t e^{t} - e^{t} + 1 = (t-1)e^{t} + 1.

Passo 6

Portanto, usando a convolução, a transformada inversa pedida é
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{S(S-1)^{2}}\right\}=(f*g)(t)=(t-1)e^{t}+1.
(Fazendo um check rápido por frações parciais obtém-se a mesma expressão: 1 - e^{t} + t e^{t}=1+(t-1)e^{t}.)

Resposta

(t-1)e^{t}+1

Exercícios relacionados