Determine as seguintes transformadas inversas usando a ideia de convoluções:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{S}{\left(S^{2}+4\right)(S-2)}\right\}

Passo 1

O que o problema pede: determinar a transformada inversa \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{S}{\left(S^{2}+4\right)(S-2)}\right\}.
Informações dadas no enunciado:
\frac{S}{\left(S^{2}+4\right)(S-2)}
é a transformada de Laplace cujo inverso devemos encontrar. Não há outras informações / figuras.

Passo 2

Decisão do método (explicação curta e intuitiva): vamos usar a ideia de convolução. Isso porque a expressão pode ser vista como produto de duas funções simples em S:
\frac{S}{\left(S^{2}+4\right)(S-2)}=\underbrace{\frac{S}{S^{2}+4}}_{G(S)}\cdot\underbrace{\frac{1}{S-2}}_{H(S)}.
Se uma função F(S)=G(S)H(S), então a transformada inversa f(t) é a convolução das transformadas inversas g(t) e h(t). Vou mostrar passo a passo por que isso é conveniente e como calcular a integral de convolução.

Passo 3

Identificação das transformadas-padrão (pareamento S ↔ tempo):
  • \displaystyle \frac{S}{S^{2}+4} é a transformada de \cos(2t), isto é,
\mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\frac{S}{S^{2}+4}.
  • \displaystyle \frac{1}{S-2} é a transformada de e^{2t}, isto é,
\mathcal{L}\{e^{2t}\}=\frac{1}{S-2}.
Portanto, se chamarmos g(t)=\cos(2t) e h(t)=e^{2t}, temos G(S)=\mathcal{L}\{g\} e H(S)=\mathcal{L}\{h\}.

Passo 4

Enunciado do teorema da convolução (aula rápida):
Se G(S)=\mathcal{L}\{g(t)\} e H(S)=\mathcal{L}\{h(t)\}, então
\mathcal{L}^{-1}\{G(S)H(S)\}=(g*h)(t)=\int_{0}^{t} g(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau,
onde (g*h)(t) é a convolução de g e h. Vamos aplicar isso ao nosso caso com g(\tau)=\cos(2\tau) e h(t-\tau)=e^{2(t-\tau)}.

Passo 5

Escrevendo a convolução explicitamente:
f(t)=\int_{0}^{t} \cos(2\tau)\,e^{2(t-\tau)}\,d\tau.
Fatorando e^{2t} (pois não depende de \tau):
f(t)=e^{2t}\int_{0}^{t} e^{-2\tau}\cos(2\tau)\,d\tau.
Agora precisamos calcular a integral
I(t)=\int_{0}^{t} e^{-2\tau}\cos(2\tau)\,d\tau.

Passo 6

Cálculo da integral I(t) (aula passo a passo usando integração por partes dupla):
Considere a integral genérica
J(\tau)=\int e^{a\tau}\cos(b\tau)\,d\tau.
Fazendo integração por partes duas vezes (vamos apresentar o resultado e o raciocínio resumido):
  • Depois de integrar por partes e isolar J(\tau), obtém-se a fórmula conhecida
\int e^{a\tau}\cos(b\tau)\,d\tau = \frac{e^{a\tau}\big(a\cos(b\tau)+b\sin(b\tau)\big)}{a^{2}+b^{2}} + C.
Aplicando com a=-2 e b=2 temos
\int e^{-2\tau}\cos(2\tau)\,d\tau = \frac{e^{-2\tau}\big(-2\cos(2\tau)+2\sin(2\tau)\big)}{(-2)^{2}+2^{2}} + C.
Como (-2)^{2}+2^{2}=4+4=8, simplificamos:
\int e^{-2\tau}\cos(2\tau)\,d\tau = \frac{e^{-2\tau}\big(-2\cos(2\tau)+2\sin(2\tau)\big)}{8} + C = \frac{e^{-2\tau}\big(-\cos(2\tau)+\sin(2\tau)\big)}{4} + C.

Passo 7

Avaliação de I(t) nos limites 0 e t:
I(t)=\left[\frac{e^{-2\tau}\big(-\cos(2\tau)+\sin(2\tau)\big)}{4}\right]_{\tau=0}^{\tau=t}.
Calcule o termo em \tau=t e em \tau=0:
  • Para \tau=t: \displaystyle \frac{e^{-2t}\big(-\cos(2t)+\sin(2t)\big)}{4}.
  • Para \tau=0: \displaystyle \frac{e^{0}\big(-\cos(0)+\sin(0)\big)}{4}=\frac{-1+0}{4}=-\frac{1}{4}.
    Subtraindo,
I(t)=\frac{e^{-2t}\big(-\cos(2t)+\sin(2t)\big)}{4} -\left(-\frac{1}{4}\right) =\frac{e^{-2t}\big(-\cos(2t)+\sin(2t)\big)}{4} +\frac{1}{4}.

Passo 8

Voltar para f(t) usando f(t)=e^{2t}I(t):
f(t)=e^{2t}\left(\frac{e^{-2t}\big(-\cos(2t)+\sin(2t)\big)}{4} +\frac{1}{4}\right).
Multiplicando os termos:
f(t)=\frac{-\cos(2t)+\sin(2t)}{4} + \frac{e^{2t}}{4}.
Rearranjando para ficar mais bonito:
f(t)=\frac{e^{2t}}{4} + \frac{\sin(2t)-\cos(2t)}{4}.

Resposta

\boxed{ \displaystyle f(t)=\frac{e^{2t}}{4}+\frac{\sin(2t)-\cos(2t)}{4} }

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