Determine as seguintes transformadas inversas usando a ideia de convoluções: \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{S}{\left(S^{2}+4\right)(S-2)}\right\}
Passo 1
O que o problema pede: determinar a transformada inversa \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{S}{\left(S^{2}+4\right)(S-2)}\right\}.
Informações dadas no enunciado:
\frac{S}{\left(S^{2}+4\right)(S-2)}
é a transformada de Laplace cujo inverso devemos encontrar. Não há outras informações / figuras.
Passo 2
Decisão do método (explicação curta e intuitiva): vamos usar a ideia de convolução. Isso porque a expressão pode ser vista como produto de duas funções simples em S:
Se uma função F(S)=G(S)H(S), então a transformada inversa f(t) é a convolução das transformadas inversas g(t) e h(t). Vou mostrar passo a passo por que isso é conveniente e como calcular a integral de convolução.
Passo 3
Identificação das transformadas-padrão (pareamento S ↔ tempo):
\displaystyle \frac{S}{S^{2}+4} é a transformada de \cos(2t), isto é,
\mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\frac{S}{S^{2}+4}.
\displaystyle \frac{1}{S-2} é a transformada de e^{2t}, isto é,
\mathcal{L}\{e^{2t}\}=\frac{1}{S-2}.
Portanto, se chamarmos g(t)=\cos(2t) e h(t)=e^{2t}, temos G(S)=\mathcal{L}\{g\} e H(S)=\mathcal{L}\{h\}.
Passo 4
Enunciado do teorema da convolução (aula rápida):
Se G(S)=\mathcal{L}\{g(t)\} e H(S)=\mathcal{L}\{h(t)\}, então
Cálculo da integral I(t) (aula passo a passo usando integração por partes dupla):
Considere a integral genérica
J(\tau)=\int e^{a\tau}\cos(b\tau)\,d\tau.
Fazendo integração por partes duas vezes (vamos apresentar o resultado e o raciocínio resumido):
Depois de integrar por partes e isolar J(\tau), obtém-se a fórmula conhecida
\int e^{a\tau}\cos(b\tau)\,d\tau = \frac{e^{a\tau}\big(a\cos(b\tau)+b\sin(b\tau)\big)}{a^{2}+b^{2}} + C.
Aplicando com a=-2 e b=2 temos
\int e^{-2\tau}\cos(2\tau)\,d\tau = \frac{e^{-2\tau}\big(-2\cos(2\tau)+2\sin(2\tau)\big)}{(-2)^{2}+2^{2}} + C.
Como (-2)^{2}+2^{2}=4+4=8, simplificamos:
\int e^{-2\tau}\cos(2\tau)\,d\tau = \frac{e^{-2\tau}\big(-2\cos(2\tau)+2\sin(2\tau)\big)}{8} + C = \frac{e^{-2\tau}\big(-\cos(2\tau)+\sin(2\tau)\big)}{4} + C.