- Mostre, usando a transformada inversa da convolução, que
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- Pede-se calcular a transformada inversa de
, isto é, encontrar
- Informação dada: a expressão no domínio de
é . - Objetivo claro: mostrar que o resultado é
.
Passo 2
Reconhecer fatores conhecidos (transformadas de funções simples).
- Lembrando a definição da transformada de Laplace: para uma função
(assumindo condições usuais),
- Duas transformadas muito usadas (podemos usar como conhecidas ou derivar rapidamente):
Explicação curta de por que são verdade: basta integrar por partes ou usar integrais exponenciais complexas; o resultado padrão (para
) é o mostrado acima. Essas identidades são fundamentais e você deve decorá-las para prova.
Passo 3
Observar que a expressão é produto de transformadas conhecidas.
- Note que
- Pelas transformadas do passo anterior, os fatores correspondem a
e , respetivamente.
Passo 4
Usar o teorema da convolução (a “transformada inversa da convolução”).
- Teorema: se
e , então
onde a convolução
é definida por
- Consequência direta:
- Aplicando ao nosso caso, com
e , obtemos
Passo 5
Calcular explicitamente a integral de convolução.
- Vamos resolver
- Use a identidade trigonométrica (fórmula produto-soma):
Tomando
e
, temos
- Substituindo na integral:
Passo 6
Avaliar as duas parcelas separadamente e concluir.
- A primeira parcela é fácil:
- A segunda parcela: faça a substituição
, então . Quando , . Quando , . Assim
- Como
é função ímpar, . Logo a segunda parcela é zero. - Consequentemente,
Passo 7
Conclusão e interpretação final.
- Encontramos explicitamente que a convolução fornece
- Intuição rápida: o produto no domínio
corresponde a “misturar” no tempo via convolução; aqui essa mistura resulta numa função simples , que cresce linearmente em multiplicada por a oscilação .