1. Mostre, usando a transformada inversa da convolução, que
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{S}{\left(S^{2}+1\right)^{2}}\right\}=\frac{1}{2} t \operatorname{sen}(t)

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pede-se calcular a transformada inversa de \displaystyle \frac{S}{\left(S^{2}+1\right)^{2}}, isto é, encontrar
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{S}{\left(S^{2}+1\right)^{2}}\right\}.
  • Informação dada: a expressão no domínio de S é \displaystyle \frac{S}{\left(S^{2}+1\right)^{2}}.
  • Objetivo claro: mostrar que o resultado é \displaystyle \frac{1}{2}\,t\,\operatorname{sen}(t).

Passo 2

Reconhecer fatores conhecidos (transformadas de funções simples).
  • Lembrando a definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) (assumindo condições usuais),
\mathcal{L}\{f(t)\}(S)=\int_{0}^{\infty} e^{-St} f(t)\,dt.
  • Duas transformadas muito usadas (podemos usar como conhecidas ou derivar rapidamente):
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(t)\}(S)=\frac{1}{S^{2}+1}, \qquad \mathcal{L}\{\cos(t)\}(S)=\frac{S}{S^{2}+1}.
Explicação curta de por que são verdade: basta integrar por partes ou usar integrais exponenciais complexas; o resultado padrão (para \Re(S)>0) é o mostrado acima. Essas identidades são fundamentais e você deve decorá-las para prova.

Passo 3

Observar que a expressão é produto de transformadas conhecidas.
  • Note que
\frac{S}{(S^{2}+1)^{2}}=\left(\frac{S}{S^{2}+1}\right)\cdot\left(\frac{1}{S^{2}+1}\right).
  • Pelas transformadas do passo anterior, os fatores correspondem a \mathcal{L}\{\cos t\}(S) e \mathcal{L}\{\operatorname{sen} t\}(S), respetivamente.

Passo 4

Usar o teorema da convolução (a “transformada inversa da convolução”).
  • Teorema: se \mathcal{L}\{f\}(S)=F(S) e \mathcal{L}\{g\}(S)=G(S), então
\mathcal{L}\{f * g\}(S)=F(S)\,G(S),
onde a convolução f*g é definida por
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
  • Consequência direta:
\mathcal{L}^{-1}\{F(S)G(S)\}=f*g.
  • Aplicando ao nosso caso, com f(t)=\cos t e g(t)=\operatorname{sen} t, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{S}{(S^{2}+1)^{2}}\right\}=(\cos * \operatorname{sen})(t) =\int_{0}^{t} \cos(\tau)\,\operatorname{sen}(t-\tau)\,d\tau.

Passo 5

Calcular explicitamente a integral de convolução.
  • Vamos resolver
I(t)=\int_{0}^{t} \cos(\tau)\,\operatorname{sen}(t-\tau)\,d\tau.
  • Use a identidade trigonométrica (fórmula produto-soma):
\sin A\cos B=\tfrac{1}{2}\big(\sin(A+B)+\sin(A-B)\big).
Tomando A=t-\tau e B=\tau, temos
\cos(\tau)\,\operatorname{sen}(t-\tau)=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(t)+\operatorname{sen}(t-2\tau)\big).
  • Substituindo na integral:
I(t)=\int_{0}^{t} \tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(t)+\operatorname{sen}(t-2\tau)\big)\,d\tau =\tfrac{1}{2}\left[\operatorname{sen}(t)\int_{0}^{t} d\tau + \int_{0}^{t}\operatorname{sen}(t-2\tau)\,d\tau\right].

Passo 6

Avaliar as duas parcelas separadamente e concluir.
  • A primeira parcela é fácil:
\operatorname{sen}(t)\int_{0}^{t} d\tau = \operatorname{sen}(t)\cdot t.
  • A segunda parcela: faça a substituição u=t-2\tau, então du=-2\,d\tau. Quando \tau=0, u=t. Quando \tau=t, u=-t. Assim
\int_{0}^{t}\operatorname{sen}(t-2\tau)\,d\tau = -\tfrac{1}{2}\int_{t}^{-t}\operatorname{sen}(u)\,du = \tfrac{1}{2}\int_{-t}^{t}\operatorname{sen}(u)\,du.
  • Como \operatorname{sen}(u) é função ímpar, \int_{-t}^{t}\operatorname{sen}(u)\,du=0. Logo a segunda parcela é zero.
  • Consequentemente,
I(t)=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(t)\cdot t + 0\big)=\tfrac{1}{2}\,t\,\operatorname{sen}(t).

Passo 7

Conclusão e interpretação final.
  • Encontramos explicitamente que a convolução fornece
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{S}{(S^{2}+1)^{2}}\right\}=(\cos * \operatorname{sen})(t)=\tfrac{1}{2}\,t\,\operatorname{sen}(t).
  • Intuição rápida: o produto no domínio S corresponde a “misturar” no tempo via convolução; aqui essa mistura resulta numa função simples \tfrac{1}{2}t\sin t, que cresce linearmente em t multiplicada por a oscilação \sin t.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\,t\,\operatorname{sen}(t)

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