Determine a solução dos seguintes PVI’s usando convoluções:
Passo 1
Enunciado e o que é pedido: temos o PVI
Pergunta: determinar a solução
que satisfaz essa equação integral-diferencial e a condição inicial.
Informações dadas e relevantes: a equação relaciona com uma integral de
sobre
, há um termo forçante
do lado direito, e a condição inicial é
. Não há figura nem mais dados.
Informações dadas e relevantes: a equação relaciona
Passo 2
Primeiro cálculo útil: obter
a partir da equação no instante
. Substituo
na equação original:
Como
e
, segue
Ter
e
será útil para checar a solução.
Passo 3
Explicação rápida do método (Laplace e convolução) — aula curta e amiga:
- A transformada de Laplace de uma função
é . Denotamos por . - Propriedades que usaremos:
onde a convolução
é definida por
.
- Assim, ao aplicar a transformada de Laplace na equação, transformamos derivadas e integrais em expressões algébricas em
. Em seguida invertimos a transformada; se aparecer produto de transformadas, usamos a propriedade da convolução para voltar ao tempo.
Passo 4
Aplicando a transformada de Laplace à equação original. Denotando
, e lembrando
:
Substituo as fórmulas conhecidas:
Como
, isto fica
Passo 5
Isolo
. Multiplico ambos os lados por
para limpar denominadores:
Reagrupando os termos com
:
Logo
Passo 6
Interpretação em termos de convolução (passo pedido): escrevo a segunda fração como produto de duas transformadas conhecidas:
As transformadas inversas conhecidas são
e
. Pelo teorema do produto/convolução,
Portanto, voltando ao tempo,
Passo 7
Calculo explícito da convolução
. Uso identidades trigonométricas para integrar passo a passo.
Primeiro escrevo o integrando expandido:
Agora uso
e
. Assim o integrando vira
Integro de
a
:
Calculo as integrais elementares:
Substituindo,
Usando
e
(ou outras identidades) e simplificando os termos, tudo reduz a
(Simplificação: os termos com
e
se cancelam, sobrando apenas
.)
Passo 8
Com o resultado da convolução, voltamos à expressão em tempo:
Posso rapidamente checar as condições iniciais:
(pois
) e
(derivando e avaliando em
obtém-se
), consistentes com o PVI.