Determine a solução dos seguintes PVI’s usando convoluções:
y^{\prime}+\operatorname{sen}(t)=1-\int_{0}^{t} y(u) d u ; y(0)=0

Passo 1

Enunciado e o que é pedido: temos o PVI
y'(t)+\sin(t)=1-\int_{0}^{t}y(u)\,du,\qquad y(0)=0.
Pergunta: determinar a solução y(t) que satisfaz essa equação integral-diferencial e a condição inicial.
Informações dadas e relevantes: a equação relaciona y' com uma integral de y sobre [0,t], há um termo forçante 1-\sin(t) do lado direito, e a condição inicial é y(0)=0. Não há figura nem mais dados.

Passo 2

Primeiro cálculo útil: obter y'(0) a partir da equação no instante t=0. Substituo t=0 na equação original:
y'(0)+\sin(0)=1-\int_{0}^{0}y(u)\,du.
Como \sin(0)=0 e \int_{0}^{0}=\!0, segue
y'(0)=1.
Ter y(0)=0 e y'(0)=1 será útil para checar a solução.

Passo 3

Explicação rápida do método (Laplace e convolução) — aula curta e amiga:
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é \displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\int_0^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt. Denotamos por F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s).
  • Propriedades que usaremos: \mathcal{L}\{f'(t)\}(s)=sF(s)-f(0),
\mathcal{L}\Big\{\int_0^t f(u)\,du\Big\}(s)=\frac{F(s)}{s},
\mathcal{L}\{f*g\}(s)=F(s)G(s),
onde a convolução (f*g)(t) é definida por \displaystyle (f*g)(t)=\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)\,d\tau.
  • Assim, ao aplicar a transformada de Laplace na equação, transformamos derivadas e integrais em expressões algébricas em s. Em seguida invertimos a transformada; se aparecer produto de transformadas, usamos a propriedade da convolução para voltar ao tempo.

Passo 4

Aplicando a transformada de Laplace à equação original. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s), e lembrando y(0)=0:
\mathcal{L}\{y'\}(s)+\mathcal{L}\{\sin t\}(s)=\mathcal{L}\{1\}(s)-\mathcal{L}\Big\{\int_0^t y(u)\,du\Big\}(s).
Substituo as fórmulas conhecidas:
sY(s)-y(0)+\frac{1}{s^2+1}=\frac{1}{s}-\frac{Y(s)}{s}.
Como y(0)=0, isto fica
sY(s)+\frac{1}{s^2+1}=\frac{1}{s}-\frac{Y(s)}{s}.

Passo 5

Isolo Y(s). Multiplico ambos os lados por s para limpar denominadores:
s^2Y(s)+\frac{s}{s^2+1}=1-Y(s).
Reagrupando os termos com Y(s):
Y(s)\big(s^2+1\big)=1-\frac{s}{s^2+1}.
Logo
Y(s)=\frac{1}{s^2+1}-\frac{s}{(s^2+1)^2}.

Passo 6

Interpretação em termos de convolução (passo pedido): escrevo a segunda fração como produto de duas transformadas conhecidas:
\frac{s}{(s^2+1)^2}=\frac{1}{s^2+1}\cdot\frac{s}{s^2+1}.
As transformadas inversas conhecidas são \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^2+1}\}=\sin t e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^2+1}\}=\cos t. Pelo teorema do produto/convolução,
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{s}{(s^2+1)^2}\Big\}(t)=(\sin*\cos)(t)=\int_0^t \sin(t-\tau)\cos\tau\,d\tau.
Portanto, voltando ao tempo,
y(t)=\sin t-\int_0^t \sin(t-\tau)\cos\tau\,d\tau.

Passo 7

Calculo explícito da convolução \displaystyle \int_0^t \sin(t-\tau)\cos\tau\,d\tau. Uso identidades trigonométricas para integrar passo a passo.
Primeiro escrevo o integrando expandido:
\sin(t-\tau)\cos\tau=\big(\sin t\cos\tau-\cos t\sin\tau\big)\cos\tau =\sin t\cos^2\tau-\cos t\sin\tau\cos\tau.
Agora uso \cos^2\tau=\tfrac{1+\cos 2\tau}{2} e \sin\tau\cos\tau=\tfrac{\sin 2\tau}{2}. Assim o integrando vira
\sin t\cdot\frac{1+\cos 2\tau}{2}-\cos t\cdot\frac{\sin 2\tau}{2}.
Integro de 0 a t:
\int_0^t \sin(t-\tau)\cos\tau\,d\tau =\sin t\!\int_0^t\!\frac{1+\cos 2\tau}{2}\,d\tau-\cos t\!\int_0^t\!\frac{\sin 2\tau}{2}\,d\tau.
Calculo as integrais elementares:
\int_0^t\frac{1+\cos 2\tau}{2}\,d\tau=\frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}, \qquad \int_0^t\frac{\sin 2\tau}{2}\,d\tau=\frac{1-\cos 2t}{4}.
Substituindo,
\int_0^t \sin(t-\tau)\cos\tau\,d\tau =\sin t\Big(\frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}\Big)-\cos t\Big(\frac{1-\cos 2t}{4}\Big).
Usando \sin 2t=2\sin t\cos t e \cos 2t=1-2\sin^2 t (ou outras identidades) e simplificando os termos, tudo reduz a
\int_0^t \sin(t-\tau)\cos\tau\,d\tau=\frac{t}{2}\sin t.
(Simplificação: os termos com \sin^2 t\cos t e \cos t\sin^2 t se cancelam, sobrando apenas \tfrac{t}{2}\sin t.)

Passo 8

Com o resultado da convolução, voltamos à expressão em tempo:
y(t)=\sin t-\frac{t}{2}\sin t.
Posso rapidamente checar as condições iniciais: y(0)=0 (pois \sin 0=0) e y'(0)=1 (derivando e avaliando em 0 obtém-se 1), consistentes com o PVI.

Resposta

y(t)=\left(1-\frac{t}{2}\right)\sin t

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