Determine se os seguintes vetores são LI ou LD no espaço vetorial :
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD) em . Para isso vamos usar o teste padrão: montar a combinação linear dessas funções igual a zero e ver se a única solução para os coeficientes é a trivial.
Passo 2
Suponha que existam escalares tais que
onde é o polinômio nulo em .
Passo 3
Expandindo e agrupando termos semelhantes, obtemos
Passo 4
Para que esse polinômio seja o polinômio zero, os coeficientes de , de e o termo constante devem ser todos zero. Isso leva ao sistema
Passo 5
Da primeira equação vem c=0. Da segunda, b=-a. Substituindo em 2a + b - c = 0 dá
2a + (-a) - 0 = 0 Longrightarrow a = 0
e então b=-a=0. Logo a única solução é a=b=c=0.
Passo 6
Como a única combinação linear que zera as funções é a trivial, concluímos que o conjunto é linearmente independente.