Determine se os seguintes vetores são LI ou LD no espaço vetorial P3 :
S=x+2, x+1, x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
,x+2,;x+1,;x^2-1
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD) em P3. Para isso vamos usar o teste padrão: montar a combinação linear dessas funções igual a zero e ver se a única solução para os coeficientes é a trivial.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c tais que
a,(x+2);+;b,(x+1);+;c,(x^2-1);=;0
onde 0 é o polinômio nulo em P3.

Passo 3

Expandindo e agrupando termos semelhantes, obtemos
a x + 2a ;+; b x + b ;+; c x^2 - c ;=; c,x^2 ;+;(a+b),x ;+;(2a + b - c) ;=;0

Passo 4

Para que esse polinômio seja o polinômio zero, os coeficientes de x^2, de x e o termo constante devem ser todos zero. Isso leva ao sistema
c = 0, a + b = 0, 2a + b - c = 0

Passo 5

Da primeira equação vem c=0. Da segunda, b=-a. Substituindo em 2a + b - c = 0
2a + (-a) - 0 = 0 Longrightarrow a = 0
e então b=-a=0. Logo a única solução é a=b=c=0.

Passo 6

Como a única combinação linear que zera as funções é a trivial, concluímos que o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto é linearmente independente (LI).

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