Determine se os seguintes vetores são LI ou LD no espaço vetorial
:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD) em
, o espaço das polinômios de grau
. Vamos usar o teste de combinação linear trivial.
Passo 2
Escrevemos uma combinação linear genérica que dê o polinômio nulo:
Aqui
são escalares reais a determinar.
Passo 3
Expandindo e agrupando termos iguais em
, obtemos
Como esse polinômio é identicamente zero, cada coeficiente deve ser zero:
Passo 4
Resolvendo o sistema, vemos que
d fica livre e
Para
dneq 0 temos solução não trivial, logo os vetores são LD. Por exemplo, escolhendo
d=2 vem
e
Passo 5
Concluímos que existe combinação não trivial que zera o conjunto, então
S é linearmente dependente.
Resposta
O conjunto
S é linearmente dependente.