Determine se os seguintes vetores são LI ou LD no espaço vetorial P3 :
S=2, x^2, x, 2 x+3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = ,2,;x^2,;x,;2x+3
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD) em P3, o espaço das polinômios de grau <=3. Vamos usar o teste de combinação linear trivial.

Passo 2

Escrevemos uma combinação linear genérica que dê o polinômio nulo:
acdot 2 ;+; bcdot x^2 ;+; ccdot x ;+; dcdot(2x+3) ;=; 0
Aqui a,b,c,d são escalares reais a determinar.

Passo 3

Expandindo e agrupando termos iguais em x, obtemos
2a ;+; b,x^2 ;+;(c+2d),x ;+;3d ;=; 0
Como esse polinômio é identicamente zero, cada coeficiente deve ser zero:
b = 0, c + 2d = 0, 2a + 3d = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema, vemos que d fica livre e
b = 0, c = -2d, a = -tfrac32,d
Para dneq 0 temos solução não trivial, logo os vetores são LD. Por exemplo, escolhendo d=2 vem
a = -3, b=0, c=-4,
e
-3cdot2 ;+;0cdot x^2;+;(-4)cdot x;+;2cdot(2x+3) ;=;-6 -4x +4x +6 ;=;0

Passo 5

Concluímos que existe combinação não trivial que zera o conjunto, então S é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto S é linearmente dependente.

Exercícios relacionados