Determine se os seguintes vetores são LI ou LD no espaço vetorial P3 :
S=x+2, x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S=,x+2,;x^2-1
é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD) no espaço vetorial P3 (polinômios de grau até 3). Para isso, vamos usar a definição: S é LI se a única combinação linear que dá o polinômio zero é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero).

Passo 2

Considere a combinação linear genérica
a,(x+2);+;b,(x^2-1);=;0
onde 0 é o polinômio zero. Nosso objetivo é ver se disso decorre necessariamente a=0 e b=0.

Passo 3

Desenvolvendo a soma dos polinômios, temos
a,x + 2a ;+; b,x^2 - b ;=; b,x^2 + a,x + (2a - b)
Para que esse polinômio seja o zero em todo x, seus coeficientes devem ser nulos, ou seja:
coeficiente de x^2: & b = 0, coeficiente de x: & a = 0, termo constante: & 2a - b = 0

Passo 4

Das duas primeiras equações já obtemos a=0 e b=0. A terceira 2a - b = 0 fica satisfeita por esses mesmos valores. Logo, a única solução é a trivial.

Resposta

O conjunto S=,x+2,;x^2-1 é linearmente independente (LI).

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