Determine se os seguintes vetores são LI ou LD no espaço vetorial :
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD) no espaço vetorial (polinômios de grau até 3). Para isso, vamos usar a definição: é LI se a única combinação linear que dá o polinômio zero é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
Passo 2
Considere a combinação linear genérica
onde é o polinômio zero. Nosso objetivo é ver se disso decorre necessariamente e .
Passo 3
Desenvolvendo a soma dos polinômios, temos
Para que esse polinômio seja o zero em todo , seus coeficientes devem ser nulos, ou seja:
Passo 4
Das duas primeiras equações já obtemos a=0 e b=0. A terceira 2a - b = 0 fica satisfeita por esses mesmos valores. Logo, a única solução é a trivial.
Resposta
O conjunto S=,x+2,;x^2-1 é linearmente independente (LI).