Determine se os vetores são LI ou LD no espaço vetorial P2 :
S=2-x, 2 x-x^2, 6-5 x+x^2

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o conjunto de polinômios
S=p1,p2,p3subset P2
com
p1(x)=2-x, p2(x)=2x - x^2, p3(x)=6-5x + x^2
Precisamos verificar se esses polinômios são linearmente independentes em P2. Para isso, vamos testar a equação
alpha,p1(x) + beta,p2(x) + gamma,p3(x) = 0
e ver se existe solução não trivial.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e expandindo, temos
alpha(2 - x) + beta(2x - x^2) + gamma(6 - 5x + x^2) =2alpha - alpha x + 2beta x - beta x^2 + 6gamma -5gamma x + gamma x^2 = 0

Passo 3

Agrupando os termos semelhantes de potências de x, obtemos o polinômio
(2alpha + 6gamma) +(-alpha + 2beta -5gamma),x +(-beta + gamma),x^2 =0
Para ser o polinômio zero, cada coeficiente deve anular, gerando o sistema
2alpha + 6gamma = 0, -alpha + 2beta -5gamma = 0, -beta + gamma = 0

Passo 4

Da terceira equação vem beta = gamma. Da primeira obtemos
2alpha + 6gamma = 0 Longrightarrow alpha = -3gamma
Substituindo em
-alpha +2beta -5gamma=0,
temos
-(-3gamma) + 2gamma -5gamma =3gamma+2gamma-5gamma=0,
que é identidade para qualquer gamma. Logo existe solução não trivial (por exemplo, gamma=1, beta=1, alpha=-3).

Passo 5

Como encontramos (alpha,beta,gamma)=(-3,1,1)neq(0,0,0) que satisfaz
-3(2-x) + 1cdot(2x-x^2) + 1cdot(6-5x+x^2) = 0,
concluímos que os polinômios de S são linearmente dependentes em P2.

Resposta

Os vetores em S são linearmente dependentes.

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