Determine se os vetores são LI ou LD no espaço vetorial
:
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos o conjunto de polinômios
com
Precisamos verificar se esses polinômios são linearmente independentes em
. Para isso, vamos testar a equação
e ver se existe solução não trivial.
Passo 2
Escrevendo a combinação linear e expandindo, temos
Passo 3
Agrupando os termos semelhantes de potências de
, obtemos o polinômio
Para ser o polinômio zero, cada coeficiente deve anular, gerando o sistema
Passo 4
Da terceira equação vem
beta = gamma . Da primeira obtemos
Substituindo em
-alpha +2beta -5gamma=0 ,
temos
temos
que é identidade para qualquer
gamma . Logo existe solução não trivial (por exemplo,
gamma=1 ,
beta=1 ,
alpha=-3 ).
Passo 5
Como encontramos
(alpha,beta,gamma)=(-3,1,1)neq(0,0,0) que satisfaz
concluímos que os polinômios de
S são linearmente dependentes em
P2 .
Resposta
Os vetores em
S são linearmente dependentes.