Determine se os vetores são LI ou LD no espaço vetorial P2 :
x^2, 1+x^2

Passo 1

O enunciado pede para decidir se os polinômios x^2 e 1 + x^2 em P2 são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Vamos usar a definição: eles são LI se toda combinação linear que dê o polinômio zero só tiver a trivial.

Passo 2

Suponha que existam escalares c1 e c2 tais que
c1,x^2 + c2,(1 + x^2) = 0
Distribuindo e reunindo termos semelhantes, obtemos
(c1 + c2),x^2 + c2 = 0
Como este é o polinômio zero, cada coeficiente deve ser zero, isto é,
c1 + c2 = 0,
c2 = 0

Passo 3

Da segunda equação segue c2 = 0. Substituindo na primeira temos c1 + 0 = 0, logo c1 = 0. Assim, só a combinação trivial resolve a equação.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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