Determine a seletividade, S_{D / U}, para a reação em fase líquida:
A+B \rightarrow D \quad r_{D}=k_{1} C_{A}^{2} C_{B}
A+B \rightarrow U_{1} \quad r_{U_{1}}=k_{2} C_{A} C_{B}
A+B \rightarrow U_{2} \quad r_{U_{2}}=k_{3} C_{A}^{3} C_{B}
Esboce a seletividade em função da concentração de A. Há um ponto ótimo? Qual será?

Passo 1

O enunciado fornece três reações competitivas em fase líquida e pede a seletividade S_{D/U} em função da concentração de A. O conteúdo envolve cinética química e definição de seletividade como razão entre a velocidade de formação do produto desejado D e a soma das velocidades dos produtos indesejados U_1 e U_2.

Passo 2

Definimos a seletividade S_{D/U} como
S_{D/U} \;=\;\frac{r_D}{r_{U_1}+r_{U_2}},
onde
r_D = k_{1}C_{A}^{2}C_{B},\quad r_{U_1} = k_{2}C_{A}C_{B},\quad r_{U_2} = k_{3}C_{A}^{3}C_{B}.

Passo 3

Substituindo as velocidades por suas expressões e cancelando C_B, temos
S_{D/U} = \frac{k_{1}C_{A}^{2}}{k_{2}C_{A}+k_{3}C_{A}^{3}} = \frac{k_{1}C_{A}}{k_{2}+k_{3}C_{A}^{2}}.

Passo 4

Para esboçar S_{D/U}(C_A) notamos que quando C_A\to0 e C_A\to\infty, S\to0. Logo há um máximo intermediário. Calculamos a derivada
\frac{dS}{dC_A} = \frac{d}{dC_A}\Bigl(\frac{k_{1}C_{A}}{k_{2}+k_{3}C_{A}^{2}}\Bigr).

Passo 5

Usando regra do quociente,
\frac{dS}{dC_A} = k_{1}\,\frac{(k_{2}+k_{3}C_{A}^{2}) - C_{A}\,(2k_{3}C_{A})} {(k_{2}+k_{3}C_{A}^{2})^{2}} = k_{1}\,\frac{k_{2} - k_{3}C_{A}^{2}}{(k_{2}+k_{3}C_{A}^{2})^{2}}.
Igualando a zero dá
k_{2}-k_{3}C_{A}^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad C_{A}=\sqrt{\frac{k_{2}}{k_{3}}}.

Passo 6

Esse valor de C_A é o ponto ótimo. Substituindo em S_{D/U}, obtemos
S_{D/U}^{\max} = \frac{k_{1}\,\sqrt{k_{2}/k_{3}}}{k_{2}+k_{2}} = \frac{k_{1}}{2\sqrt{k_{2}k_{3}}}.

Resposta

A seletividade em função de C_{A} é
S_{D/U}(C_A)=\frac{k_{1}C_{A}}{k_{2}+k_{3}C_{A}^{2}},
que cresce de zero a um máximo e depois decai para zero. O ponto ótimo ocorre em
C_{A}=\sqrt{\frac{k_{2}}{k_{3}}}
onde
S_{D/U}^{\max}=\frac{k_{1}}{2\sqrt{k_{2}k_{3}}}.

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