Determine y^prime sendo y uma função de x dada implicitamente pela equação
2 x^3+x^2 y+y^3=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar y' (a derivada de y em relação a x ) para a equação:
2x^3 + x^2y + y^3 = 1
Esse tipo de problema envolve derivação implícita, que é usada quando y está misturado com x na equação e não está isolado. Vamos precisar das regras de derivação básicas, especialmente a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a x . Lembre-se que y é uma função de x , então quando derivarmos termos que envolvem y , precisamos usar a regra da cadeia.
Derivando cada termo:
  1. Derivada de 2x^3 é 6x^2 .
  2. Derivada de x^2y usa a regra do produto:
ddx(x^2y) = x^2 cdot dydx + y cdot ddx(x^2) = x^2y' + 2xy
  1. Derivada de y^3 usa a regra da cadeia:
ddx(y^3) = 3y^2 cdot y'
  1. Derivada de 1 é 0 .

Passo 3

Agora, colocando tudo junto:
6x^2 + x^2y' + 2xy + 3y^2y' = 0
Nosso objetivo é isolar y' . Vamos juntar os termos que têm y' de um lado e os outros termos do outro lado.

Passo 4

Rearranjando os termos:
x^2y' + 3y^2y' = -6x^2 - 2xy
Fatorando y' do lado esquerdo:
y'(x^2 + 3y^2) = -6x^2 - 2xy

Passo 5

Finalmente, isolando y' :
y' = -6x^2 - 2xyx^2 + 3y^2
Podemos simplificar um pouco mais colocando um fator comum:
y' = -2x(3x + y)x^2 + 3y^2

Resposta

A derivada y' é:
y' = -6x^2 - 2xyx^2 + 3y^2

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