Determine
sendo
uma função de
dada implicitamente pela equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar
(a derivada de
em relação a
) para a equação:
Esse tipo de problema envolve derivação implícita, que é usada quando
está misturado com
na equação e não está isolado. Vamos precisar das regras de derivação básicas, especialmente a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivarmos termos que envolvem
, precisamos usar a regra da cadeia.
Derivando cada termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
usa a regra do produto:
- Derivada de
usa a regra da cadeia:
- Derivada de
é .
Passo 3
Agora, colocando tudo junto:
Nosso objetivo é isolar
. Vamos juntar os termos que têm
de um lado e os outros termos do outro lado.
Passo 4
Rearranjando os termos:
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 5
Finalmente, isolando
:
Podemos simplificar um pouco mais colocando um fator comum:
Resposta
A derivada
é: