Determine os três primeiros termos da série de Taylor, em torno da constante a, para as seguintes funções:
x(t)=raizt, para a=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de séries de Taylor! A questão pede para encontrar os três primeiros termos da série de Taylor para a função x(t) = raizt , centrada em a = 4 . Isso envolve entender o que é uma série de Taylor, como expandir uma função em torno de um ponto específico e calcular as derivadas necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma forma de aproximar funções usando polinômios. A série de Taylor de uma função f(t) em torno de a é dada por:
f(t) = f(a) + f'(a)(t - a) + f''(a)2!(t - a)^2 + cdots
Como queremos os três primeiros termos, vamos precisar de f(a) , f'(a) e f''(a) .

Passo 3

Vamos começar calculando f(a) , que é simplesmente a função avaliada em a = 4 :
f(4) = raiz4 = 2

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada f'(t) . Para f(t) = raizt = t^1/2 , a derivada é:
f'(t) = 12 t^-1/2 = 12raizt
Avaliando em a = 4 :
f'(4) = 12raiz4 = 12 times 2 = 14

Passo 5

Em seguida, calculamos a segunda derivada f''(t) . Derivando f'(t) :
f''(t) = ddt ( 12 t^-1/2 ) = -14 t^-3/2 = -14 t^3/2
Avaliando em a = 4 :
f''(4) = -14 times (4)^3/2
Sabendo que 4^3/2 = (2^2)^3/2 = 2^3 = 8 , temos:
f''(4) = -14 times 8 = -132

Passo 6

Agora, vamos montar os três primeiros termos da série de Taylor usando os valores que encontramos:
raizt approx f(4) + f'(4)(t - 4) + f''(4)2(t - 4)^2
Substituindo:
raizt approx 2 + 14(t - 4) - 164(t - 4)^2

Resposta

Os três primeiros termos da série de Taylor para raizt em torno de a = 4 são:
raizt approx 2 + 14(t - 4) - 164(t - 4)^2

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