Determine os três primeiros termos da série de Taylor, em torno da constante
, para as seguintes funções:
, para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de séries de Taylor! A questão pede para encontrar os três primeiros termos da série de Taylor para a função
, centrada em
. Isso envolve entender o que é uma série de Taylor, como expandir uma função em torno de um ponto específico e calcular as derivadas necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma forma de aproximar funções usando polinômios. A série de Taylor de uma função
em torno de
é dada por:
Como queremos os três primeiros termos, vamos precisar de
,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando
, que é simplesmente a função avaliada em
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada
. Para
, a derivada é:
Avaliando em
:
Passo 5
Em seguida, calculamos a segunda derivada
. Derivando
:
Avaliando em
:
Sabendo que
, temos:
Passo 6
Agora, vamos montar os três primeiros termos da série de Taylor usando os valores que encontramos:
Substituindo:
Resposta
Os três primeiros termos da série de Taylor para
em torno de
são: