Determine y^prime sendo y uma função de x dada implicitamente pela equação
(y^2-9)^4=(4 x^2+3 x-1)^2

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
l(y^2-9r)^4 ;=;l(4x^2+3x-1r)^2,
e pede ,y'. O conteúdo aqui é diferenciação implícita, aplicando a regra da cadeia em cada lado e depois isolando y'.

Passo 2

Derivamos o lado esquerdo em relação a x. Usando a regra da cadeia em l(y^2-9r)^4:
ddxl(y^2-9r)^4 =4l(y^2-9r)^3cdotddxl(y^2-9r) =4l(y^2-9r)^3cdot(2y,y') =8yl(y^2-9r)^3y'

Passo 3

Derivamos o lado direito em relação a x. Em l(4x^2+3x-1r)^2:
ddxl(4x^2+3x-1r)^2 =2l(4x^2+3x-1r)cdotddxl(4x^2+3x-1r) =2l(4x^2+3x-1r)cdot(8x+3)

Passo 4

Igualando as derivadas de cada lado:
8yl(y^2-9r)^3y' =2l(4x^2+3x-1r)(8x+3)
Dividindo ambos os lados por 2:
4yl(y^2-9r)^3y' =l(4x^2+3x-1r)(8x+3)

Passo 5

Isolando y':
y' =l(4x^2+3x-1r)(8x+3)4,y,(y^2-9)^3

Resposta

y'=(4x^2+3x-1)(8x+3)4,y,(y^2-9)^3

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