Determine os três primeiros termos da série de Taylor, em torno da constante a, para as seguintes funções:
x(t)=cos (t), para a=0

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da série de Taylor de x(t)=cos(t) em torno de a=0. O conteúdo é a expansão em série de Maclaurin, que usa derivadas de cos(t) avaliadas em t=0.

Passo 2

A fórmula da série de Taylor de uma função f em torno de a=0 (Maclaurin) é
f(t)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,t^n
Aqui vamos calcular as derivadas de cos(t) até obter três termos não nulos.

Passo 3

As derivadas de f(t)=cos(t) são cíclicas de período 4:
f(t)&=cos(t), & f(0)&=1, f'(t)&=-sin(t), & f'(0)&=0, f''(t)&=-cos(t), & f''(0)&=-1, f^(3)(t)&=sin(t), & f^(3)(0)&=0, f^(4)(t)&=cos(t), & f^(4)(0)&=1

Passo 4

Substituindo na fórmula de Maclaurin e mantendo até o termo em t^4, temos
cos(t) =f(0)0!t^0+f'(0)1!t^1+f''(0)2!t^2+f^(3)(0)3!t^3+f^(4)(0)4!t^4+cdots

Passo 5

Agora colocamos os valores das derivadas:
cos(t) =1 + 0cdot t + -12!t^2 + 0cdot t^3 + 14!t^4 + cdots,
ou seja,
cos(t)=1 - t^22! + t^44! + cdots

Resposta

cos(t)=1 - t^22 + t^424 + cdots

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