Determine se a sentença é verdadeira ou falsa:
a) Duas matrizes A e B de tamanho n \times n são inversas uma da outra se, e só se, A B=B A=0.
b) Para quaiquer matrizes A e B de mesmo tamanho, vale A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B).
c) Se A e B forem matrizes de mesmo tamanho e k uma constante, então (k A+B)^{t}=k A^{t}+B^{t}.
d) Uma matriz quadrada com uma linha ou coluna de zeros não pode ser invertível.
e) A soma de duas matrizes invertíveis de mesmo tamanho sempre é invertível.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre matrizes quadradas, envolvendo inversa, fatoração, transposta, invertibilidade e soma de matrizes invertíveis. O conteúdo principal é álgebra linear: propriedades de multiplicação de matrizes, fatoração algébrica em matrizes, operação de transposição, critério de invertibilidade (determinante) e exemplos de contraexemplos.

Passo 2

Analisando (a): “Duas matrizes A e B são inversas uma da outra se, e só se, AB=BA=0.”
Por definição, B é inversa de A exatamente quando
AB=BA=I,
não zero. Como a afirmação troca I por 0, ela é falsa.

Passo 3

Analisando (b): “Para quaisquer matrizes A e B vale A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B).”
Na realidade
(A-B)(A+B)=A^2 + AB - BA - B^2,
que só coincide com A^2-B^2 se AB=BA. Em geral matrizes não comutam, logo a identidade falha, e a afirmação é falsa.

Passo 4

Analisando (c): “Se A e B são matrizes do mesmo tamanho e k constante, então (kA+B)^{t}=kA^{t}+B^{t}.”
Usa-se a propriedade (X+Y)^t=X^t+Y^t e (kX)^t=kX^t. Combinando,
(kA+B)^t=(kA)^t + B^t = kA^t + B^t.
Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Analisando (d): “Uma matriz quadrada com uma linha ou coluna de zeros não pode ser invertível.”
Se uma linha (ou coluna) é zero, o determinante é zero, e a matriz não tem inversa. Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Analisando (e): “A soma de duas matrizes invertíveis de mesmo tamanho sempre é invertível.”
Considere A=I e B=-I, ambas invertíveis. Mas A+B=0, que não é invertível. A afirmação é falsa.

Resposta

a) F
b) F
c) V
d) V
e) F

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