Determine se a sentença é verdadeira ou falsa:
a) Duas matrizes
e
de tamanho
são inversas uma da outra se, e só se,
.
b) Para quaiquer matrizes
e
de mesmo tamanho, vale
.
c) Se
e
forem matrizes de mesmo tamanho e
uma constante, então
.
d) Uma matriz quadrada com uma linha ou coluna de zeros não pode ser invertível.
e) A soma de duas matrizes invertíveis de mesmo tamanho sempre é invertível.
a) Duas matrizes
b) Para quaiquer matrizes
c) Se
d) Uma matriz quadrada com uma linha ou coluna de zeros não pode ser invertível.
e) A soma de duas matrizes invertíveis de mesmo tamanho sempre é invertível.
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre matrizes quadradas, envolvendo inversa, fatoração, transposta, invertibilidade e soma de matrizes invertíveis. O conteúdo principal é álgebra linear: propriedades de multiplicação de matrizes, fatoração algébrica em matrizes, operação de transposição, critério de invertibilidade (determinante) e exemplos de contraexemplos.
Passo 2
Analisando (a): “Duas matrizes
e
são inversas uma da outra se, e só se,
.”
Por definição, é inversa de
exatamente quando
Por definição,
não zero. Como a afirmação troca
por
, ela é falsa.
Passo 3
Analisando (b): “Para quaisquer matrizes
e
vale
.”
Na realidade
Na realidade
que só coincide com
se
. Em geral matrizes não comutam, logo a identidade falha, e a afirmação é falsa.
Passo 4
Analisando (c): “Se
e
são matrizes do mesmo tamanho e
constante, então
.”
Usa-se a propriedade e
. Combinando,
Usa-se a propriedade
Portanto a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Analisando (d): “Uma matriz quadrada com uma linha ou coluna de zeros não pode ser invertível.”
Se uma linha (ou coluna) é zero, o determinante é zero, e a matriz não tem inversa. Logo a afirmação é verdadeira.
Se uma linha (ou coluna) é zero, o determinante é zero, e a matriz não tem inversa. Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 6
Analisando (e): “A soma de duas matrizes invertíveis de mesmo tamanho sempre é invertível.”
Considere e
, ambas invertíveis. Mas
, que não é invertível. A afirmação é falsa.
Considere
Resposta
a) F
b) F
c) V
d) V
e) F
b) F
c) V
d) V
e) F