Use a informação para encontrar A.
(I+2 A)^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\\\ 4 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá
(I + 2A)^{-1} = \begin{pmatrix}-1 & 2 \\[6pt] 4 & 5\end{pmatrix},
e pede A. O conteúdo usado será inversão de matrizes e manipulação algébrica matricial.]

Passo 2

Definimos
M = \begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 4 & 5\end{pmatrix}.
Calculamos o determinante:
\det(M) = (-1)\cdot 5 - 2\cdot 4 = -5 - 8 = -13.
Assim,
M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \begin{pmatrix}5 & -2 \\[4pt] -4 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{5}{13} & \tfrac{2}{13} \\[4pt] \tfrac{4}{13} & \tfrac{1}{13}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Como (I + 2A)^{-1} = M, invertemos ambos os lados:
I + 2A = M^{-1} = \begin{pmatrix}-\tfrac{5}{13} & \tfrac{2}{13} \\[4pt] \tfrac{4}{13} & \tfrac{1}{13}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Isolamos 2A subtraindo I:
2A = M^{-1} - I = \begin{pmatrix}-\tfrac{5}{13}-1 & \tfrac{2}{13} \\[4pt] \tfrac{4}{13} & \tfrac{1}{13}-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{18}{13} & \tfrac{2}{13} \\[4pt] \tfrac{4}{13} & -\tfrac{12}{13}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Finalmente, dividimos por 2:
A = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}-\tfrac{18}{13} & \tfrac{2}{13} \\[4pt] \tfrac{4}{13} & -\tfrac{12}{13}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{9}{13} & \tfrac{1}{13} \\[4pt] \tfrac{2}{13} & -\tfrac{6}{13}\end{pmatrix}.]

Resposta

A = \begin{pmatrix}-\tfrac{9}{13} & \tfrac{1}{13} \\[4pt] \tfrac{2}{13} & -\tfrac{6}{13}\end{pmatrix}.]

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