Determine se a sentença é verdadeira ou falsa:
Se A e B forem matrizes de mesmo tamanho e k uma constante, então (k A+B)^t=k A^t+B^t.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas matrizes A e B do mesmo tamanho e uma constante k, vale a igualdade
(kA+B)^t=kA^t+B^t
O conteúdo necessário é a propriedade da transposição em relação à soma e ao produto por escalar.

Passo 2

Propriedade da transposição relativa à soma: para quaisquer matrizes X e Y compatíveis,
(X+Y)^t=X^t+Y^t

Passo 3

Propriedade da transposição relativa ao produto por escalar: para qualquer matriz X e escalar k,
(kX)^t=k,X^t

Passo 4

Aplicando as duas propriedades em sequência:
(kA+B)^t=(kA)^t+B^t=k,A^t+B^t

Resposta

A sentença é verdadeira.

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